CÓNICAS

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN DE CÓNICA

Son curvas planas que cumplen una condición geométrica determinada. Pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono.

Se conocen 4 curvas cónicas, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, .que dependen de la inclinación del plano respecto al eje de un cono.

  • Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia. El eje forma con el plano 90º=β
  • si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse. El ángulo es  β<90º sin superar el ángulo que forma el eje y la generatriz el cono = α.
  • si la inclinación no forma una curva cerrada es una parábola. El ángulo es β>90º pero supera al que forma el eje con la generatriz del cono =α
  • Cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.El ángulo es 0º, paralelo al eje.

CIRCUNFERENCIA

Es el conjunto de puntos del plano que distan una medida constante de un punto llamado centro. A esta medida constante se le llama radio.

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

Características.

  • Los coeficientes de x2 y de y2 iguales, normalmente iguales a 1.
  • Los coeficientes de x e y nos permiten calcular el centro.
  • El término independiente nos permite calcular el radio.

Toda nuestra vida está llena de rotación.

_Desde que nos levantamos con el sonido del despertador que funciona con un sistema de ruedas dentadas que rotan alrededor de sus ejes.

  • Desayunamos y giramos la cuchara para remover el azúcar en forma de círculos. Imagen2
  • En el transporte en el que nos desplazamos va sobre ruedas y el conductor gira el volante.
  • Sin olvidar que estos giros están sobre otro giro, el de la tierra girando a su vez en el majestuoso universo que habitamos.
  • A lo largo de la historia ha sido considerada la curva más perfecta.

 FORMAS DE CALCULAR SU ECUACIÓN

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el (0,1) y por radio 3.

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

Sabiendo la ecuación de las siguientes circunferencias, hallar el centro y el radio.CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

   Cuadro de kandinsky realzando la importancia del círculo.

Cuadro de kandinsky realzando la importancia del círculo.

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

Escribe la ecuación de las circunferencias que verifican las siguientes condiciones:

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene por centro el punto c= (1,2) y pasa por el punto (-4,1)

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

 Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (2,-1) y una recta tangente –x+y=1

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A (0,0) B (0,2) y C (-1,4)Hallar la mediatriz de AB.

CÓNICAS-CIRCUNFERENCIA

Dada la circunferencia  x²+y² =9,  hallar la recta tangente.

Dada la circunferencia x²+y²=4 , calcular las rectas tangentes si x=1. Calcular una circunferencia concéntrica a la anterior de radio 5.

Cuando hay que calcular la recta tangente en un punto de la circunferencia, sustituimos la x por 1 en la ecuación para hallar y.

Imagen16concentrica

Imagen17

Una circunferencia concéntrica a la anterior tendría como centro el (0,0) y de radio 5: x²+y²=25

 

   EJERCICIOS DE LA CIRCUNFERENCIA

 PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIASENO 2

  • El radio es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
  • La perpendicularidad entre el radio y la recta tangente, se produce en cualquier punto.
  • Si dentro de la circunferencia se traza un triángulo de manera que un lado sea el diámetro, el lado opuesto es de 90º.
  • Dos ángulos internos que abarcan el mismo arco, son iguales.
  • Dos circunferencias concéntricas, tienen el mismo centro y distinto radio.
  • La longitud de una circunferencia de diámetro un metro es Pi=3,1416…..SENO 5

    EL CÍRCULO EN EL ARTE MODERNO

    EL CÍRCULO EN EL ARTE MODERNO

 

 

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009

 

 

 

CÓNICAS-ELIPSE

 La elipse, en la antigüedad, se tomaba como una circunferencia deformada. No era considerada una curva importante, de hecho en las construcciones anteriores al siglo 16 no aparece en ninguna planta ni en las obras de arte.

  •  En 1602, Kepler  creía que la órbita de marte  era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el  sol  en un foco. Es en este momento cuando se empieza a dar importancia a esta curva.
  • Kepler introdujo la palabra “focus”.
  • Galileo posteriormente probó la teoría de que los planetas siguen órbitas elípticas.

CÓNICAS-ELIPSEPara trazar una elipse podemos sujetar una cuerda en dos puntos fijos llamados focos y tensarla, al hacerla girar describimos la elipse.

Elipse interactiva

DEFINICIÓN DE LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO

Es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

CÓNICAS-ELIPSEimages (18)

  • Relación entre las tres medidas, a, b y c: c²+b²=a²
  • La relación cumple el teorema de Pitágoras.

 

EJEMPLOS

 Hallar la ecuación de la elipse de focos (1,0), (-1,0) y constante 4.

CÓNICAS-ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse de focos y y constante 6.CÓNICAS-ELIPSE

Hallar la elipse de focos F = (-2,0) y F´ = (2,0), y de constante 6.

CÓNICAS-ELIPSE

Imagen de la obra maestra por excelencia de una representación elíptica, la Plaza de San Pedro, con dos farolas en los focos y dos elipses concéntricas. 

Imagen12

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009

 

 

CÓNICAS-PARÁBOLA

Es el conjunto de puntos que dista lo mismo de un punto llamado foco que de una recta llamada directriz.CÓNICAS-PARÁBOLA

Efecto parabólico en los focos de los vehículos.

Efecto parabólico en los focos de los vehículos.

La parábola es una de las cónicas más importantes en cuanto a las aplicaciones a la vida real.

Efecto parabólico en las antenas.

Efecto parabólico en las antenas.

 

CÓNICAS-PARÁBOLA

Las fuentes.

 Cúpulas de catedrales.

Cúpulas de catedrales

 

 

 

teruel

CÓNICAS-PARÁBOLA

 

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA SI LA DIRECTRIZ ES PARALELA AL EJE DE ORDENADADAS

CÓNICAS-PARÁBOLA

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA DE EJE HORIZONTAL Y MEDIATRIZ VERTICAL

parábola

EJEMPLO

 parábolaparábolaparábola

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA SI LA DIRECTRIZ ES PARALELA AL EJE DE ABSCISAS

parábolaPARA3

TIPOS DE PARÁBOLAS DE EJE VERTICAL

Podemos encontrar tres tipos:

parábola

Una vez calculada su ecuación a partir del foco y de la directriz, hacemos su gráfica:

  •  Calculamos los puntos de corte con los ejes.

Para calcular los cortes con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y despejamos la “y”

Para calcular los cortes con el eje de abscisas hacemos y=0 y despejamos la “x” resolviendo la ecuación de segundo grado que nos queda.

  • Calculamos el vértice con la fórmula , la “y” se calcula poniendo el valor de la “x” en la tabla de valores. En realidad la “y” es el valor numérico de la “x”

“Truco” Si en la fórmula de segundo grado se suprime la raíz, queda la fórmula del valor de “x” del vértice.

Otra forma es derivar e igualar a cero la derivada. Nos da lo mismo

  • El vértice puede ser un MÁXIMO o un MÍNIMO

Es un máximo si antes crece y luego decrece.      Es un mínimo si antes decrece y luego crece

  • Hacemos una tabla de valores. 
CARACTERÍSTICAS si a>0      Tiene forma cóncava.     concava           Siempre a>0
Tiene dos ramas simétricas RESPECTO DE UNA RECTA QUE PASA POR EL VÉRTICE Y ES PARALELA AL EJE DE ORDENADAS.      
·  Antes del vértice decrece y después crece
 Si observa el crecimiento o decrecimiento de izquierda a derecha, a medida que van aumentando los valores de “x”.
 Si el coeficiente del grado “2” es positivo, siempre son cóncavas 
CARACTERÍSTICAS si a<0     Tiene forma convexa.    convexa            Siempre a<0
Tiene dos ramas simétricas RESPECTO DE UNA RECTA QUE PASA POR EL VÉRTICE Y ES PARALELA AL EJE DE ORDENADAS.      
Antes del vértice crece y después decrece
 Se observa el decrecimiento o el crecimiento de izquierda a derecha, a medida que van aumentando los valores de “x”.
 Si el coeficiente del grado “2” es negativo, siempre son convexas

parábolaparábolaparábola

 

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009