SISTEMAS LINEALES- DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN-CRAMER Y GAUSS

DEFINICIÓN DE UN SISTEMA

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, lineal, es decir no tiene productos de variables ni potencias, solo escalares por variables es:

Si tenemos en cuenta el producto y la igualdad de matrices, se puede poner como:

Esta expresión recibe el nombre de forma matricial.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.

MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL

Para resolver los sistemas utilizamos el método de Cramer o el de Gauss

MÉTODO DE CRAMER

Necesitamos que la matriz de los coeficientes a despejar sea cuadrada y tenga determinante distinto de cero.

MÉTODO DE GAUSS

Colocamos los coeficientes y los términos independientes formando la matriz ampliada:

• Realizaremos operaciones siempre en las filas.
• Podemos multiplicar o dividir una fila por un número.
• Restar o sumar filas o sus múltiplos.
• No puedo cambiar columnas entre sí.
• Puedo cambiar filas entre sí.
• No puedo operar columnas.
• Se intentan conseguir los ceros en forma triangular, es decir debajo de la diagonal.

Nunca se pone igual entre las matrices, porque no son iguales, representan a sistemas de la misma solución, por tanto equivalentes.

Filotruco

SISTEMAS DE 2 ECUACIONES Y 2 VARIABLES

Resolver el sistema como una ecuación matricial.

 Sólo se puede aplicar  cuando A tiene inversa, es decir, es cuadrada y su determinante es distinto de 0

Filotruco

SISTEMAS DE 2 VARIABLES Y 3 ECUACIONES

ESQUEMAS POR GAUSS

No podemos hacer el determinante de la matriz de los coeficientes, porque no es cuadrada, por tanto empezamos por el determinante de la ampliada o por Gauss.

Este caso se resuelve por Gauss.

Si no es fácil por Gauss, se empieza por el determinante de la ampliada.

SISTEMAS DE 2 ECUACIONES Y 3 VARIABLES

SISTEMAS DE 3 ECUACIONES Y 3 INCÓGNITAS

SISTEMAS DE 3 ECUACIONES Y 3 INCÓGNITAS POR EL MÉTODO DE GAUSS

1º) Que sea incompatible: ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la ampliada es distinto de 0.

2º) Que sea compatible indeterminado: ocurre cuando el rango de la ampliada y el rango de la matriz de coeficientes tienen el mismo rango, pero el rango no coincide con el número de incógnitas, es decir, el rango es 2.

Para determinar el rango de la ampliada debemos proceder al método de Gauss, intentando obtener la matriz triangulada.  Si conseguimos una fila con todo ceros, entonces la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tendrán rango 2, que será distinto al número de incógnitas por lo que nos encontraremos ante un sistema compatible indeterminado.

Cuando el resultado la última ecuación es absurdo como en este caso: 0x+0y+0z=-1 y los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada son distintos, decimos que el sistema no tiene solución por tanto el sistema es incompatible.

SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Es un sistema que tiene todos sus términos independientes es 0.

Los homogéneos nunca son Incompatibles.

SISTEMAS DE 4 ECUACIONES Y 3 VARIABLES

Cuando tengamos este tipo de sistemas tenemos 3 caminos a seguir:

Por Gauss triangulando la ampliada.

Haciendo el determinante de la ampliada y luego GAUSS para los valores que anulan al determinante.

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009