Progresiones

Progresión aritmética

Progresiones aritméticas-Fórmula general-Suma de términos y ejemplos

1.  LAS PROGRESIONES

Son un tipo especial de sucesiones (números ordenados) que tienen los términos relacionados entre si.

Hay dos tipos de progresiones:

  • Aritméticas.
  • Geométricas.

En este apartado, vamos a tratar las progresiones aritméticas.

2.  PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Cada término se diferencia con el anterior en un valor constante, llamado diferencia.

  • Primer término = a1
  • Segundo término = a2= a1+d
  • Tercer término  = a3=a2+d= a1+2d
  • Término general  =an =  a1  + (n-1)·d

Ejemplos:

  1. Si el primer término es a1 = 1, y la diferencia es d= 3, el término general es: an= 1+(n-1)·3=3n-2
  2. Como me porto bien, mis padres deciden que la primera semana del año me dan una paga de 10 euros y cada semana me dan 2 más . ¿Cuánto me pagan la última semana? a10 = 10+(52-1)·2=10+510=520euros
  3. Si a1=3 y d=-4, calcular an: an=3+(n-1)·(-4)=-4n+7

3.  SUMA DE TÉRMINOS DE UNA POGRESIÓN ARITMÉTICA

En el problema que calculo la paga que me dan en el último mes del año, nos podemos preguntar cuánto dinero me tienen que dar mis padres al final del año, y tengo dos opciones o calcular lo que cobro todas las semanas y sumarlo todo o aplicar alguna fórmula.

Si nos planteamos cuanto suman los primeros 60 números, observamos que forman una progresión aritmética de diferencia d=1 y el primer término también 1

Todas las sucesiones aritméticas verifica que si sumamos términos equidistantes del centro suman lo mismo.

Por tanto, tenemos 30 sumas iguales a 61. Esto lo observó Gauss con 9 años. y dedujo que para sumar los primeros 60 números, basta multiplicar 61 por 30=1830.

Acabamos de observar que hay una fórmula para sumar términos de una progresión aritmética: Primer término más el último, por el número de términos entre 2.

Sn=(a1+an)·(n/2)

Calcular la suma de la progresión: 7, 10, 13, 16, 19…    en donde observo que d=3.

  1. Calcular el término general.
  2. El término 100.
  3. La suma de los 6 primeros.

an=7+(n-1)·3=3n+4

a100=7+(99)·3=304

S6=(a1+a6)·(n/2)=(7+(3·6+4))(6/2)=(7+22)(3)=87

Interpolar en una progresión aritmética

Entre 18 y 46 interpolar un término de forma que resulte una progresión aritmética.

18+x es el número que buscamos.

18+x +x tiene que resultar igual a 46

2x=46-18

x=14

El número que buscamos es 18+14=32

Ejemplo de suma de t´´erminos en progresión aritmética:

Al comienzo del año Juan decide ahorrar para comprarse la play. En Enero, mete en su hucha 10€ y cada mes introduce la misma cantidad, 1€ más.

¿Cuánto dinero habrá ahorrado al finalizar el año?

Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Sep., Oct., Nov., Diciembre.

 10€   11€      12€     13€      14€      15€     16€       17€        18€   19€    20€       21€

Un jardinero tiene que regar 20 árboles separados entre sí 2m y para regarlos cada vez va a un pozo a llenar el cubo que dista del primer árbol 4m.

  1. ¿Cuántos metros anda para regar el primer árbol?
  2. ¿Cuántos metros anda para regar el segundo árbol?¿Cuántos metros anda para regar el último árbol?
  3. ¿Cuántos metros anda en total?

La primera semana del otoño recibo una paga de 10€. Como me porto bien cada semana me dan 1€ más. ¿Cuánto me dan en un año?

a52=10+51·1=61

S52=(10+61)·(52/2)=1846 euros

Cuánto suman los números múltiplos de 3 que están entre 7 y 98.

El primer número sería 9 y el último 96. El número de términos (96/3).2=30

S=(9+96)·(30/2)=105·15=1575

Fuentes:

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009

Progresiones geométricas-Término general y Suma de términos

Son un apartado de las progresiones. Un término se calcula multiplicando el anterior por un número llamado razón.

Término general de la progresión geométrica

Una célula se divide cada segundo en dos, ¿Cuántas células hay a los 10 segundos y a los 20 segundos y a los 52 segundos?

Una célula se multiplica cada segundo en dos, ¿Cuántas células hay a los 8s y 40s?

Interpolar un término entre 18 y 162, que forme una progresión geométrica.

18·x es el número que buscamos, pero este multiplicado por x de nuevo tiene que dar 162.

Interpolar es poner entre ambos números.

18·x·x=162

x2=162/18=9

x=3

El número por tanto es 18·3=54

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Si sumamos infinitos términos y la razón es un número comprendido entre 0 y 1, se queda la fórmula reducida a la siguiente:

  1. Calcular la suma de los 5 primeros términos de una progresión de primer término 2 y razón 3.
  2. Una bacteria se reproduce duplicándose  cada segundo. ¿Cuántas hay al minuto? ¿Y a la hora?
  3. Un cliente de facebook le dice a 5 amigos un secreto y estos a su vez cada minuto a otros 5 distintos. ¿Cuántas personas lo saben a los 20 minutos?

Fuentes:

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009