OPTIMIZAR FUNCIONES-PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

LOS PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONSTAN DE LOS PASOS SIGUIENTES:

• Planteamos una ecuación con el dato que conocemos.

• Despejamos la y. (En algunos casos conviene despejar la «x», y crear una f(y)

• Planteamos la ecuación con el dato desconocido.

• Sustituyo la y por su valor, creando una función que depende de la x.

• Derivamos para hallar el mínimo o el máximo.

• Igualamos a cero y despejo la x.

• Comprobamos si hay máximos o mínimos.

• Hallamos la y.

El Ayuntamiento de Madrid quiere hacer un parque de 10.000 m² de área de forma rectangular. Le quieren poner valla por tres lados. Calcular las dimensiones de las vallas para que sea mínima.

• Queremos hacer un libro de 600cm² de superficie y queremos poner márgenes superiores e inferiores de 2cm y laterales 2 y 1. Halla la medida de la hoja para que la parte escrita tenga área máxima.

En un semicírculo de radio 4 cm. inscribir un rectángulo de área máxima.

Una cuerda de 20m se parte en dos trozos. Con una parte trazamos un cuadrado y con la otra un círculo y queremos que el área sea mínima.

Dado un triángulo isósceles de base 8 cm. y altura 5 cm., calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse dentro de él.

En un círculo de radio 6, halla las medidas de un rectángulo inscrito para que su área sea máxima.

Un rectángulo de 10 m de diagonal. Hallar las medidas para que el área sea máxima.                                              Una ventana normanda de 4m de perímetro. Calcular las medidas para que el área sea máxima.

Por el punto (2,3) trazar una recta que forme con los ejes de coordenadas  un triángulo de área mínima.

Un campo de atletismo tiene 1000 m de perímetro, hallar las medidas para que el área del rectángulo tenga un área máxima.

Construir un bote de pintura de medio litro y de superficie mínima para ahorrar costes. Hallar sus medidas.

Dado el cono de la figura, halla sus medidas para que su volumen sea el máximo posible.

A una hoja de lado 10 metros cuadrados  le quitamos un cuadrado en cada esquina de lado x. Hallar las medidas para que la caja que se forma al unir los extremos tenga un volumen máximo. (Sin tapa).

1. Dado el cono de la figura, halla sus medidas para que su volumen sea el máximo posible.
2. Construir un depósito de forma cilíndrica sin tapa para recoger agua de lluvia y que tenga 10.000 litros de capacidad y superficie mínima para que pese menos. Calcular las medidas.
3. Queremos comprar una parcela de 1500 m² y la queremos vallar por el lado de la calle con un material que nos cuesta a 300 euros el metro y por el resto a 100 euros el metro. Calcular las medidas para que el precio del material sea mínimo.
4. Un segmento de 20 metros se divide en dos partes para hacer un cuadrado y un círculo de área máxima. Calcula las medidas de las figuras.
5. En un semicírculo de radio 4cm. inscribir un trapecio isósceles de área máxima.
6. Una caja de forma de paralelepípedo de forma que sus tres aristas sumen 42 cm. y la altura sea doble de la base y el volumen máximo.
7. Una cuerda de 20m se parte en dos trozos. Sobre una parte trazamos un cuadrado y sobre la otra un triángulo equilátero y queremos que el área sea mínima.
8. Queremos construir un bidón sin tapa de 1000 litros y de superficie mínima para ahorrar costes. Hallar sus medidas.
9. En una esfera de 4 metros de radio inscribir un cilindro de volumen máximo.
10. Un cartón de leche tiene la altura triple del ancho y de volumen un litro. Calcula las medidas para que el área sea mínima.
11. En un semicírculo de radio 4cm. inscribir un trapecio isósceles de área máxima.
12. Una cuerda de 20m se parte en dos trozos. Sobre una parte trazamos un cuadrado y sobre la otra un triángulo equilátero y queremos que el área sea mínima.
13. Un segmento de 20 metros se divide en dos partes para hacer un cuadrado y un círculo de área máxima. Calcula las medidas de las figuras.
14. Queremos construir un bidón sin tapa de 1000 litros y de superficie mínima para ahorrar costes. Hallar sus medidas.
15. Construir un depósito de forma cilíndrica sin tapa para recoger agua de lluvia y que tenga 1000 metros cuadrados de superficie y volumen máximo. Calcular las medidas.
16. Construir una caja de forma de paralelepípedo de forma que sus tres aristas sumen 42 cm. y la altura sea doble de la base y el volumen máximo.
17. Un cartón de leche tiene la altura triple del ancho y de volumen un litro. Calcula las medidas para que el área sea mínima.

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009