Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b]

Se llama INTEGRAL DEFINIDA a la integral que presenta unos valores en los extremos como indica la siguiente expresión:

Siendo n el número de partes en las que dividimos el intervalo.
El resultado se obtiene:

Integrando
Sustituimos los valores a y b y restamos el resultado.
El resultado es numérico si a y b son números.
Si son variables el resultado es otra función.

Ejemplo

El área del recinto limitado por una función f(x), el eje x y la rectas x=a, x=b, viene dada por el valor absoluto de la integral siempre que la función f(x) no corte al eje x en ningún punto interior del intervalo [a,b], es decir, el área está toda encima del eje de abscisas.

Si no fuese por la integral, tendríamos que hacer un área aproximada, con unos rectángulos como indica la figura, de manera que a medida que la base es más pequeña, hay menos error.

Las dos últimas figuras indican la posibilidad de hacer un área por exceso y otra por defecto y luego una media. Aun así siempre hay error.

EL ÁREA EXACTA LA CALCULA LA INTEGRAL DEFINIDA

PARA CALCULAR EL ÁREA TENEMOS CUATRO LÍMITES

x=a, una recta vertical, paralela al eje vertical de ordenadas.
x=b, otra recta paralela al eje vertical de ordenadas.
y=f(x), la función superior.
y=g(x), la función inferior, a veces es el eje de abscisas y =0

ES IMPORTANTE EL DIBUJO, PARA SABER CUAL ES LA FUNCIÓN SUPERIOR Y CUAL LA INFERIOR.

Si el dibujo indica que las funciones se cortan en un punto del intervalo, entonces el área tenemos calcularla como suma de dos:

PROPIEDADES

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

PARA CALCULAR UN ÁREA LIMITADA POR FUNCIONES, VAMOS A DISTINGUIR VARIOS CASOS.

1º ÁREA LIMITADA POR UNA FUNCIÓN Y EL EJE DE ABSCISAS EN UN DETERMINADO INTERVALO

Calcular el área entre y =-x²+4x y el eje de abscisas en el intervalo ⌊1.3⌋.

Dibujamos la parábola de la forma normal
Aplicamos la formula haciendo la integral entre los valores (cuando no me dan los valores, los extremos de la integral son los cortes), entonces encontraremos el área limitada por los cortes y encerrada.

Para representar la gráfica tenemos: