Estructuras algebraicas con una o dos operaciones

Para poder hablar de estructuras algebraicas es necesario definir primero una operación interna en un determinado conjunto.

Definición de operación interna

Supongamos un conjunto A y una determinada operación, como puede ser suma, producto, perpendicularidad, etc.. Decimos que una operación es interna si al operar o elementos de un conjunto el resultado es del mismo conjunto.

Por ejemplo el conjunto de los números naturales y la suma, si sumamos dos números naturales, el resultado es otro número natural.

Como contra ejemplo podemos poner la resta que no sería una operación interna dado que si por ejemplo restamos 10- 15 el resultado es -5 y no en un número natural.

Propiedades de las operaciones internas

Supongamos un conjunto A y la operación «⊗» que puede representar a una cualquiera.

Asociativa

(a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c) y se verifica para todos los elementos a, b, c ∈ A.

Conmutativa

a⊗b=b⊗a y se verifica para todos los elementos a, b ∈ A.

Elemento neutro

Una operación interna posee elemento neutro al que llamaremos «e» si para todos los elementos de A se verifica que e⊗a=a⊗e=a

Por ejemplo en la suma de números naturales el número «0» es el neutro, porque a+0=0+a=a.

Elemento simétrico

Una operación interna tiene elemento simétrico  de «a» y le llamamos «a’«si se verifica que a⊗a’ =e, siendo «e» el neutro.

Por ejemplo en los números enteros con la operación suma, el simétrico de 4 es -4 porque su suma da cero. Sin embargo los números naturales no tienen simétrico con la suma.

Distributiva para dos operaciones internas

Supongamos el conjunto A y dos operaciones «⊗» y «Ο», entonces se debe verificar:

a⊗(bΟc)=(a⊗b)Ο(a⊗c)

Estructuras algebraicas con una operación

Semigrupo

Un conjunto con una operación  (A, ⊗) es un semigrupo si se verifica que:

• ⊗ es una operación interna.
• Verifica la propiedad asociativa.

Por ejemplo los números naturales y la suma.

Un semigrupo es conmutativo o abeliano en honor al matemático «Abel» si verifica la propiedad conmutativa.

Un semigrupo es neutro si tiene elemento neutro.

Grupo

Un conjunto (A,⊗) es un grupo si verifica:

• ⊗ es una operación interna.
• Verifica la propiedad asociativa.
• Tiene elemento neutro.
• Tiene elemento simétrico.

Por ejemplo los números enteros y la suma.

Grupo conmutativo: si ademas de grupo tiene la propiedad conmutativa.

Estructuras algebraicas con dos operaciones)

Semianillo (A, Ο,⊗)

• (A, Ο)es un semigrupo abeliano.
• (A, ⊗) es semigrupo.
• Distributiva: a⊗(bΟc)=(a⊗b)Ο(a⊗c)

Semianillo abeliano o conmutativo

Cuando la segunda operación es conmutativa.

Por ejemplo los números Naturales y las operaciones , «+» y «·»

Anillo (A, Ο,⊗)

• (A, Ο) es un grupo abeliano.
• (A, ⊗)es semigrupo.
• Distributiva del producto respecto de la suma: a·(b+c)=(a·b)+(b·c)

Anillo abeliano o conmutativo (A, Ο,⊗)

• (A, Ο) es un grupo abeliano.
• (A, ⊗) es semigrupo abeliano.
• Distributiva: a⊗(bΟc)=(a⊗b)Ο(a⊗c)

Por ejemplo los números enteros con «+» y «·».

Cuerpo (A, Ο,⊗)

• (A, Ο) es un grupo abeliano.
• (A, ⊗) es grupo.
• Distributiva: a⊗(bΟc)=(a⊗b)Ο(a⊗c)

Cuerpo conmutativo (A, ⊗, Ο)

• (A, Ο) es un grupo abeliano.
• (A, ⊗) es grupo abeliano.
• Distributiva: a⊗(bΟc)=(a⊗b)Ο(a⊗c)

Por ejemplo los números racionales, reales y complejos con la suma y el producto.

Operación externa

Cuando operamos elementos de dos conjuntos distintos, el resultado nunca puede ser de ambos, entonces la operación es externa.

Ejemplo multiplicar un número natural por un monomio, el resultado es un monomio.

3·( 2x²)=6x²

Estructura de espacio vectorial

Supongamos un conjunto A con un operación interna (⊗) y un conjunto K que es un cuerpo con una operación externa (·), se tiene una estructura de espacio vectorial si se verifica:

• (A,⊗) es un grupo conmutativo o abeliano.
• Con la operación externa se verifican las cuatro propiedades siguientes:

1. Distributiva de la ley interna respecto de la externa: a·(α⊗β)=(a·α)⊗(a·β), α y β∈K con elementos de A
2. Distributiva de de la ley interna respeto de la externa: (a⊗b)·α=(a·α)⊗(b·α) con elemento de K.
3. Asociativa mixta: (a·β)·α=a·(β·α) con la operación externa.
4. Elemento neutro con la operación externa: e·a=a

Ejemplo los monomios y el cuerpo de los números reales.