Uno de los apartados más importantes del bloque de integración es el de las integrales de cocientes de polinomios.
ESQUEMA GENERAL DE INTEGRACIÓN
TIPOS DE INTEGRALES DE COCIENTES DE POLINOMIOS,
¿Qué camino seguimos?
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Si el grado del numerador es mayor que el del denominador dividimos.
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Cuando el denominador NO se puede descomponer y el numerador es de menor grado puede ser:
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De tipo potencia: si el denominador tiene raíces dobles o triples, se aplica la fórmula de la potencia cuando el numerador es un número.
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De tipo logaritmo: si el numerador es la derivada del denominador.
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Tipo arcotangente o de logaritmo y tipo arcotangente: si el denominador no se puede descomponer.
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Factorizar: cuando el denominador se puede descomponer y el numerador es de menor grado.
COCIENTES DE CUALQUIER FUNCIÓN
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Lo primero miro si es de logaritmo
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Lo segundo si es de arcotangente
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SI NO ES DE UN CASO ANTERIOR miro si se puede poner como un producto de una función por su derivada y la integro como una potencia.
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CUANDO TODO ESO NO VALE PUEDE SER DE CAMBIO DE VARIABLE Y TERMINARÁ EN UN CASO ANTERIOR.
Después de las integrales directas, este tipo de integrales es el más importante, porque los métodos siguientes terminan siempre en directas o en este tipo de integrales.
Vamos a analizar cada tipo con detalle.
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El primer caso es de dividir aplicando la fórmula:
El segundo paso es separar la integral en suma de integrales y la última ya vemos que es de tipo logaritmo neperiano.
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En este ejemplo también hay que dividir, pero al ser de segundo grado el denominador, también tendremos que analizar si el denominador se descompone o no.
Después de dividir observamos que puede ser de tipo logaritmo si conseguimos que el numerador sea la derivada del denominador.
Una vez conseguido separando la integral en suma de dos, nos quedan una de tipo logaritmo y otra de tipo arcotangente, porque el denominador no se puede descomponer.
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Vemos otro caso más complicado, pero del mismo tipo.
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En el ejemplo siguiente, después de dividir, observamos que es de logaritmo directamente.
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Vamos a ver un caso más que primero hay que dividir. Una vez más el denominador no se puede descomponer, por tanto hay que conseguir que sea primero de logaritmo y luego de arcotangente.
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Por último un repaso de los cuatro casos incluyendo uno de tipo potencia.
En las de tipo potencia el numerador tiene que ser un número y el denominador se descompone con todas las raíces iguales.
EJEMPLOS
REPASO
Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009
MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO 