VECTORES EN EL PLANO

Para poder definir los vectores en el plano, debemos entender primero que es un plano y las coordenadas de sus puntos.

DEFINICIÓN DE PLANO

Un plano es el conjunto de pares de números reales.

Se representa por:

• EJE HORIZONTAL «OX» ES EL EJE DE ABSCISAS
• EJE VERTICAL «OY» ES EL EJE DE ORDENADAS

OPERACIONES CON LOS PARES DE PUNTOS

• (a,b)+(c,d)=(a+c.b+d)
• (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)
• k(a,b)=(ka,kb)

DEFINICIÓN DE VECTOR

Un vector es un segmento orientado con origen en un punto A y extremo en B.

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS VECTORES

• El módulo de un vector es la distancia entre el origen y el extremo. .EL MÓDULO SE CALCULA POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS.
• La dirección queda determinada por la pendiente del vector. La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta que contiene el vector con el eje de abscisas, medido en sentido positivo.
• ⇒
• El sentido lo indica la flecha.

Los vectores opuestos entre sí tienen la misma dirección pero sentido contrario. El sentido es una flecha que se sitúa en al extremo del vector y que indica hacia donde se desplaza.

 VECTORES EQUIPOLENTES

Son los que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

• A todos ellos les representa el mismo vector en el origen.
• En el plano hay infinitos vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido:

• EL QUE ESTÁ EN AZUL ES EL EQUIPOLENTE EN EL ORIGEN DE TODOS LOS DEMÁS. ES EL REPRESENTANTE DE TODOS.
• PAR CALCULAR SUS COORDENADAS, BASTA RESTAR EL EXTREMOS DEL ORIGEN DE CUALQUIERA DE ELLOS.
• A=(x_1, y₁)  Y   B=(x₂, y₂)    

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores libres,  se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Si se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

RESTAR ES SUMAR EL OPUESTO

PRODUCTO DE UN NUMERO POR UN VECTOR

El producto de un número k por un vector da como resultado otro vector que tiene:

• La misma dirección que el vector .
• Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
• De sentido contrario del vector si k es negativo.
• De módulo el /k/·/VECTOR/

RECUERDA: SI MULTIPLICAMOS UN VECTOR POR UN NÚMERO SU DIRECIÓN NO VARÍA

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Es un operación combinando las anteriores, , siendo a y b números.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Dos vectores son linealmente independiente si al multiplicar cada vector por un número y el resultado es el vector cero, resulta que los escalares tienen que ser el número cero.

         a·(1,1)+b·(-1,2)=(0,0)

Para probar si dos vectores son linealmente independientes,  en el plano formamos con ellos un determinante Y TIENE QUE DAR DISTINTO DE CERO.

Lo vectores del plano L.I. no tienen la misma dirección.

(Un determinante es un conjunto de números ordenados en filas y columnas, de manera que el número de filas tiene que ser igual al número de columnas, y que se pueden resolver según el orden).

(No hay que confundir nunca un determinante con una matriz). La matriz va entre paréntesis y no se puede operar)

Dos vectores son linealmente independientes cuando su determinante da ≠0.

Si dos vectores son linealmente independientes, cualquier otro vector se puede poner en combinación de ellos.

PARA OPERAR COMBINACIONES LINEALES DE VECTORES, PODEMOS APLICAR CUALQUIER MÉTODO DE RESOLVER UN SISTEMA. SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, CRAMER  Y REDUCCIÓN O  GAUSS.

EJEMPLO POR CRAMER

EJEMPLO POR GAUSS

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009