Las operaciones con números racionales y reales son imprescindibles para operar en todos los bloques de matemáticas.
NÚMEROS RACIONALES-FRACCIONES
Son el cociente de dos números enteros con denominador distinto de “0”.
Q=〈a/b ⁄ b≠0 ∧ a∈Z ∧ b∈Z〉
Interpretación de la simbología:
Esquema que relaciona los números racionales con los números naturales, enteros y decimales.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES
El único número que no tiene inverso es el «cero».
En el conjunto de los números racionales tenemos un problema y es que la división de dos números enteros nunca da un decimal sin periodicidad. Por tanto la representación de los números racionales no cubre todos los puntos de una recta.
DIBUJAR UN NÚMERO FRACCIONARIO
Representar 2/5
Dibujamos un segmento de una unidad.
Trazamos otra recta desde el punto 0.
Marcamos con un compás o con una regla 5 segmentos equiespaciados.
Unimos el extremo con el “1”.
Trazamos paralelas a esta recta.
Dividimos así el segmento de una unidad en 5 partes.
Tomamos tantas partes como indica el numerador.
Si el número es superior a la unidad se separa en suma de unidades y la fracción que queda se divide como el caso anterior.
7/5=1+2/5. Se hace el dibujo en la unidad que va del “1” al “2”.
OPERACIONES
TRUCO PARA SUMAR UNA UNIDAD A UNA FRACCIÓN
Si a 1/7 le sumamos una unidad, mentalmente sumamos 1+7, el numerador más el denominador. El resultado es el numerador dividido por 7.
1/7+1=8/7
PASAR DE DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN
Si es puro
x==1,222222; Multiplico por la unidad seguida de tantos ceros como decimales hay en la periodicidad
10x=12,2222 (Si hay dos números en la periodicidad, multiplico por 100
10x-x=11. (Resto)
9x=11; Despejo la “x”
x=11/9
Si es mixto
x=1,4=1,422222
10x=14,22222; Multiplico por 10 para mover la “coma” hasta la periodicidad.
100x=142,2222; Multiplico por 100 para mover la “coma” cogiendo la primera periodicidad.
100x-10x=128. Restamos
90x=128. Despejo la “x”
x=128/90
EJERCICIOS
Un pastor vende 2/3 de su rebaño. Si tenía 2700 ovejas, ¿Cuántas le quedan?.
Una ciudad tiene 450.000 habitantes. 2/3 tienen menos de 50 años, y de estos, 3/5 son menores de 15 años. ¿Cuántos tienen menos de 15 años?.
En las rebajas un pantalón cuesta 65 euros. Si se había rebajado el 15% ¿Cuál era el precio anterior?.
Una piscifactoría tiene 21.000 truchas. Vende 2/3 a un restaurante y 2/7 de resto a otro. Se seleccionan los 3/5 de las restantes para el mercado. ¿Cuántas quedan?.
Mi padre me da de paga 20 euros y por mi buena actitud me la incrementa ¼ cada semana durante 2 meses. ¿Cuánto cobro después de los dos meses?.
En la hora de matemáticas dedicamos 1/3 a la explicación, 2/3 del resto hacemos ejercicios y lo que queda de la hora lo dedicamos a pensar ejercicios de razonamiento. ¿Cuántos minutos dedicamos a la última actividad.
Si observamos los números racionales, no tienen decimales sin periodicidad, eso significa que aún nos faltan números por comentar.
NÚMEROS IRRACIONALES
Son números decimales sin periodicidad, como por ejemplo los radicales, el número π o múltiplos de Π . Tienen infinitas cifras decimales sin orden.
LOS NÚMEROS IRRACIONALES SURGEN DE LA DIFICULTAD DE MEDIR LA DIAGONAL DE UN CUADRADO DE LADO LA UNIDAD.
OBSERVAMOS QUE LA MEDIDA NO ES UN NÚMERO ENTERO NI RACIONAL, ES LA RAÍZ DE 2. NO TIENE PERIODICIDAD.
NÚMEROS REALES
Son la unión de los Racionales y los Irracionales.
Lo más importantes de los números reales es su representación que cubren todos los puntos de una recta, llamada Recta Real. Es una línea seguida y continua.
Los números irracionales son los números con infinitas cifras decimales sin periodicidad.
Se obtienen con las raíces cuadradas que no tienen un resultado exacto.
Si en una recta representamos los números irracionales, no cubrirían toda la recta, estaría llena de agujeritos que serían los que corresponden a los números irracionales.
El único conjunto de números que cubre todos los puntos de la recta real es el conjunto de números reales.
Ejemplo de representación de la raíz cuadrada de 2.
Es transformar la raíz del denominador al numerador.
En algunos casos se hacen al revés por interés del ejercicio
Para racionalizar tenemos varios casos:
Si solo hay una raíz se multiplica el numerador y el denominador por dicha raíz.
Si hay una suma o una resta se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado, cambiando el signo central. Luego se opera.
Si hay tres términos hay que asociar dos, dejando la raíz aislada en un término, luego se aplica el conjugado.
Se trabaja esto con las raíces de grado dos.
Si las raíces son de más grado, hay que tener en cuenta el índice.
EJEMPLOS DE RACIONALIZAR
OBSERVA QUE EN EL DENOMINADOR TIENE QUE QUEDAR UNA IGUALDAD NOTABLE.
INTERVALOS DE NÚMEROS REALES
Un intervalo de números reales es el conjunto de números REALES comprendidos entre otros dos.Representa a un segmento en donde cada punto es un número.
TIPOS DE INTERVALOS
CERRADOS: Si los extremos se consideran puntos del intervalo. Se representa por CORCHETES
x∈⌈3,5⌉⇔3≤x≤5
ABIERTOS: Si los extremos NO se consideran puntos del intervalo. Se representa por PARÉNTESIS
x∈(3,5)⇔3<x<5
SEMIABIERTOS O SEMICERRADOS: Cuando un extremo es del intervalo y el otro no.
MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO 
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