Para entender el concepto de indeterminación hay que relacionar al «0» con el concepto de poco y al ∝ con el concepto de mucho.
Por tanto mucho entre mucho no se puede saber lo que resulta, es por ello que tiende a un valor. Lo mismo con poco entre poco.
Esa es la idea fundamental de un límite, valorar a donde se acerca el resultado.
Otra pregunta frecuente es porque de 0·œ ≠0, pero es la misma razón anterior, que en los límites no tengo un 0 absoluto sino algo que se acerca a 0 y por tanto dependiendo de lo que me acerque a 0 y lo que me acerque a infinito puede dar distintos resultados.
Ejemplo:
0,000000000001·2000000000000=2 es decir poco.
0,0000001·2000000000000=200000 y esto da mucho.
2. MANERAS DE RESOLVER UN LÍMITE
SI “x” TIENDE A UN NÚMERO
DISTINGUIREMOS ENTRE COCIENTES DE POLINOMIOS Y COCIENTES CON RADICALES
COCIENTE DE POLINOMIOS
Primerosustituimos el número al que tiende la x, para comprobar si da indeterminado. Si no da indeterminado ya está resuelto.
Descomponemos por Ruffini los polinomios. Siempre vale el número al que tiende la x.
Simplificamos.
Volvemos a sustituir.
Terminamos cuando ya no haya indeterminación al sustituir.
El valor al que tiende la «x» siempre vale para resolver por Ruffini, si nos daba indeterminado.
Como no da indeterminado no hay que descomponer, el límite ya está resuelto.
COCIENTES CON RADICALES
SUSTITUIMOS.
RACIONALIZAMOS SI EN EL PASO ANTERIOR NOS DABA INDETERMINADO.
OPERAMOS.
A VECES ES NECESARIO DESCOMPONER ALGÚN POLINOMIO.
VOLVEMOS A SUSTITUIR.
Cuando tenemos radicales en el numerador y en el denominador, racionalizamos los dos a la vez.
Recuerda que si todo está dentro de la raíz, no tenemos que hacer el conjugado para racionalizar.
SI “x” TIENDE A INFINITO SE HACEN IGUAL QUE LAS SUCESIONES
El límite de una función es el valor al que se acerca la función f(x), cuando ”x” se aproxima a un determinado número.
Un límite se calcula sustituyendo la “x” por el valor al que tienda, salvo que de indeterminado.
Cuando x tiende a un número podemos acercarnos a él por la derecha o por la izquierda, esto se conoce como límites laterales.
En algunos casos dan resultados distintos, en otros lo mismo.
TIPOS DE INDETERMINACIONES
Es dudoso que no de 0·œ no sea 0, pero es que en los límites no tengo un 0 absoluto sino algo que se acerca a 0 y por tanto dependiendo de lo que me acerque a 0 y lo que me acerque a infinito puede dar distintos resultados.
Ejemplo:
0,000000001·2000000000=2
0,000000001·2000000000000=2000
SIGNIFICADO DE UN LÍMITE
FORMA GENERAL DE HACER UN LÍMITE SEGÚN EL TIPO DE INDETERMINACIÓN
Lo primero que hacemos es sustituir la “x” por el valor que tiende y estaría resuelto salvo que de indeterminado, siempre suponiendo que es equivalente a muchísimo y 0 a poquísimo.
EXPRESIONES QUE NO SON INDETERMINACIONES
FORMAS DE HACER UN LÍMITE, SEGÚN LA FUNCIÓN Y EL VALOR AL QUE TIENDE
Cociente de polinomios:
Primero sustituimos.
Si no da indeterminado, ya está resuelto y si da indeterminado trasformamos la expresión.
Entonces descomponemos.
Simplificamos.
Volvemos a sustituir.
Si volviese a dar indeterminado, repetimos el proceso.
El número al que tiende siempre vale para poner en la caja de Ruffini.
SIEMPRE ES UNA RAÍZ DEL POLINOMIO POR EL TEOREMA DEL RESTO.
El primer caso ya está resuelto.
El segundo caso no, porque da indeterminado, entonces lo transformamos para poder resolverlo. descomponemos por Ruffini.
Cociente con radicales
Primero sustituimos.
Si no da indeterminado, ya está resuelto y si da indeterminado trasformamos la expresión.
Entonces racionalizamos-
Operamos y descomponemos si hay polinomios.
Simplificamos.
Volvemos a sustituir.
Si volviese a dar indeterminado, repetimos el proceso.
OTRO MÉTODO ES LA REGLA DE L’HÔPITAL SI YA SABEMOS DERIVAR.
EJEMPLOS
LÍMITES SI X TIENDE A INFINITO
En este caso tenemos que tener un cociente o conseguirlo por el conjugado si hay radicales y podemos hacer el límite por dos métodos.
LÍMITES CON INDETERMINACIÓN 0·œ
Si son polinomios o productos de radicales se hace como en los casos anteriores, pasando el producto a cociente según la fórmula:
En el último apartado se puede cambiar senx por x porque x tiende a cero y lo justifica el teorema de Taylor dado que en el punto (0,0) la recta tangente a la gráfica es y=x. Esto simplifica el límite un poco.
Se debe evitar sustituir en suma y restas, pero no hay problema en hacerlo en los productos.
EJERCICIOS DE REPASO
Para resolver
LÍMITES DE UNAFUNCIÓN ELEVADA A OTRA
Límites del número “e”
Basta hacer una tabla de valores para comprobar que la base tiende a 1 y el exponente a infinito, pero el resultado tiene al valor 2,718……
Todos los límites de esta indeterminación tienen un resultado relacionado con el número “e”
La fórmula de los límites del número “e” solo se aplica en la indeterminación:
En general SI TIENEN OTRA INDETERMINACIÓN, se aplican logaritmos neperianos
Aplicamos logaritmos neperianos
Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia
Con la indeterminación en forma de producto no podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
Límites del número “e” son los que tienen una indeterminación de base 1 y exponente infinito.
Concepto del número «e»
Supongamos la sucesión:
en donde «n» es un número natural que varía desde n=1, hasta n=infinito.
Si le damos valores , podemos observar en esta sucesión que su crecimiento es cada vez menor y que se aproxima al valor de «e».
A medida que vamos aumentando el número «n» vemos que el resultado cada vez crece menos, hasta observar que prácticamente no crece nada.
El resultado es el número «e».
Fórmula del número «e» para funciones, en donde «x» es un número real
Todos los límites de esta indeterminación tienen un resultado relacionado con el número “e”.
La fórmula de los límites del número “e” solo se aplica en la indeterminación:
Ejemplos de límites del número «e»
En los ejemplos siguientes, una vez comprobado que es una indeterminación del número «e» calculamos directamente el resultado del exponente, aplicando la fórmula y resolviéndolo como un límite de cociente de polinomios con variable tendiendo a infinito.
Estos ejemplos son con funciones no polinómicas y por tanto se requiere el conocimiento de la fórmula de L’Hôpital y saber derivar.
En general en las funciones exponenciales, SI TIENEN OTRA INDETERMINACIÓN, se aplican logaritmos neperianos.
Para ello aplicamos las propiedades siguientes:
Aplicamos logaritmos neperianos.
Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia.
Con la indeterminación en forma de producto no podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
Pasamos a cociente.
Ya podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
Volvemos a quitar los logaritmos.
Debemos recordar que los logaritmos verifican las siguientes propiedades:
Ejemplos de límites del número «e» de indeterminación 00 aplicando logaritmos
Ejemplos de indeterminación 1(1/0) que aplicamos logaritmos
Las funciones con expresiones polinómicas también se pueden hacer con la fórmula de L’Lôpital y las derivadas, pero no resulta necesario.
Las matrices son un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Van siempre entre paréntesis o corchetes.
Por ejemplo: si tiene dos filas y tres columnas, su orden es de 2×3.
El orden de una matriz es el número de filas por el número de columnas.
Las matrices tienen múltiples aplicaciones.
EL BRAILLE SON MATRICES
Para ordenar cosas
Para construir el sistema Braille de la escritura para ciegos.
Para abreviar operaciones.
Un bloque de casas tiene 3 tipos de pisos. El primer tipo tiene10 pisos con ventanas dobles y 12 con ventanas correderas. El segundo tipo tiene 12 con ventanas dobles y 20 con correderas y el tercer tipo 20 con dobles y 15 con correderas. Expresar el problema en forma de matriz.
Las filas son el tipo de piso y las columnas el tipo de ventana.
FORMA GENERAL DE UNA MATRIZ
Se nombra cada término con dos subíndices. El primero representa el número de fila y el segundo subíndice representa el número de columna.
FORMA GENERAL DE UNA MATRIZ DE MXN
«m» las filas y «n» el número de columnas.
El orden mxn.
DOS MATRICES SON IGUALES SI SON IGUALES TODOS SUS TÉRMINOS Y TIENEN EL MISMO ORDEN
Ejemplo Construir una matriz A de orden 2×4 sabiendo que aij=(-1)i+2j
Sabiendo que la “i” representa el número que tiene la “a” en cada posición y sustituyéndola por ese número y haciendo lo mismo con la “j”, hallamos el número correspondiente a cada lugar; es decir, el proceso es análogo a la realización de una ecuación, sustituyendo el valor de los números por el de las incógnitas. Así, en el ejemplo anterior:
TIPOS DE MATRICES
Cuadrada
Matriz fila
Tiene una sola fila.
Propiedades de la traspuesta
Matriz nula
Matriz triangular
Cuando se habla de triangular una matriz nos referimos a conseguir ceros debajo o encima de la diagonal principal, para facilitar posteriores cálculos con el determinante, etc.
La diagonal principal es la que contiene el 1, el 2 y el -3.
Debajo de estos números que forman la diagonal principal solo hay ceros; también puede ser arriba, pero lo más común es abajo.
Matriz diagonal
Matriz simétrica
Matriz antisimétrica
Cuando coincide con la opuesta de la traspuesta. Tengo una matriz, hago la traspuesta y cambio el signo.
OPERACIONES CON MATRICES
Suma
Sólo se pueden sumar matrices del mismo orden y se suman término a término.
La fórmula es para matrices de orden 2×2, pero se suma igual cualquier orden.
El elemento neutro es una matriz que no altera la operación, y es la matriz nula. Tiene tantos ceros como sea el orden.
La matriz opuesta sumada con la matriz inicial da la nula.
Es conmutativa.4
Producto
Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera es igual que el número de filas de la segunda.
La multiplicación se hace filas por columnas, cogemos la primera fila de la primera matriz y la tenemos que multiplicar por la primera columna de la segunda matriz.. El primer número de la primera fila de la matriz uno, se multiplica por el primer número2 de la columna y se suma al producto de ese número por el siguiente de la columna.
El elemento neutro del producto es la matriz identidad.
Una matriz multiplicada por la identidad da la misma matriz.
ORDEN EN EL PRODUCTO DE MATRICES
Ejemplo
EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO
Propiedades
NO ES CONMUTATIVO, A VECES POR EL ORDEN Y OTRAS PORQUE NO DA LO MISMO
SOLO ES CONMUTATIVO ALGÚN CASO AISLADO. SI LO ES CON LA IDENTIDAD.
A·I=I·A=A I·I=I
A·0=0
A+0=A
1·A=A La matriz A se puede multiplicar indistintamente por el número “uno” o por la matriz identidad
A·(A+B)=A·A+A·B
(A+B)·A=A·A+B·A
A·B+2·A=A·(B+2·I)
A·B+A=A·(B+I)
B·A+A=(B+I)·A
A·B≠B·A
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Se multiplican todos los términos de la matriz por dicho número.
También se puede usar para sacar factor común y dividir es igual.
POTENCIA DE UNA MATRIZ
Para calcularla utilizamos el método de recurrencia o inducción. Consiste en calcular sucesivamente A2,A3,A4… y observar la relación que existe entre los resultados y el grado de la potencia para poder suponer AN.
Las matemáticas en el Barroco son las que se desarrollan entre el tiempo que transcurre desde la muerte de Viète en 1603 y el matemático Euler en 1707.
Lo más destacado de las matemáticas del Barroco
El reconocimiento de los números arábigos, vigentes hasta estos días.
La invención de los logaritmos.
El cálculo diferencial que cambia el rumbo de la ciencia.
En otros campos de la destacamos:
Estructura del cuerpo humano.
Estudio de la célula, animal y vegetal.
Isaac Newton enuncia «La Ley de Gravitación Universal».
Se inventa el termómetro. el telescopio y el microscopio.
Boyle perfeccionó la máquina neumática.
Torricelli inventó el barómetro de cubeta.
Los logaritmos
Pero centrándonos en las matemáticas, lo más notorio de los comienzos de este siglo XVII es el invento del escocés Neper de los logaritmos, del que procede el nombre de logaritmo neperiano, de base «e».
Su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida, porque simplifican los cálculos.
Logaritmo: del griego «logos» que significa razón, proporción, manera o relación y de «arithmos» que significa número. Nos despejan una variable del exponente de una función. Al principio, Neper llamo a los logaritmos números artificiales.
Para calcular su valor actualmente tenemos las calculadoras científicas, antes se calculaban por medio de unas tablas.
Otros avances muy importantes:
Se emplea el signo «x» para la multiplicación.
Descartes populariza el signo «igual a» = y utiliza por primera vez x².
Wallis utiliza el signo œ para infinito.
El que más notación crea es Leibniz que utiliza por primera ve el signo de integral ∫.
EL INICIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Descartes da 4 reglas para idear un buen método de estudio:
Partir de principios claros y evidentes.
Dividir cada una de las dificultades que se examinan, en cuantas partes sea posible. Particiones.
Conducir ordenadamente los pensamientos, empezando por los objetos más simples, para ascender hasta el conocimiento de los más compuestos.
Hacer revisiones generales para estar seguro de no omitir nada.
Con esta claves, hace un estudio de la geometría analítica, basado en:
A partir de una ecuación, hallar el lugar geométrico de puntos que representa.
Dado el lugar geométrico de puntos, hallar la ecuación cartesiana.
Llevar el Álgebra al estudio geométrico.
Parte de las coordenadas y crea la idea de función cartesiana. esto e el inicio del cálculo, aunque estudiado en el plano geométrico. se utilizan coordenadas rectangulares y polares.
El matemático francés Desargues estudia la geometría proyectiva.
Geometría proyectiva
Influencia en la pintura de la época de la geometría proyectiva
Pascal escribió una obra completa sobre las cónicas y sienta las bases del cálculo de probabilidades. Desarrolla la teoría a partir de la correspondencia que se establece entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christian Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.
Detalle de una pintura del siglo XVII, “proyectiles” del 1648
Otro matemático francés, Fermat halla máximos y mínimos y expone un método para cambiar el valor de las variables al tomar valores próximos. Utilizaba los infinitesimales para el cálculo de áreas bajo una curva por medio de rectángulos. Uno de los escritos que se encuentran de fermat es el del problema que lleva su nombre y que él aseguraba tenía solución con números enteros y aun no se ha encontrado.
Matemáticas del Barroco
Estos cálculos ayudaron a Kepler (1571-1630) a calcular el volumen de las cubas de lo fabricantes de vino y resuelve problemas de áreas.
Pascal y Fermat también estudiaron los números combinatorios, que luego usaría Newton para desarrollar la fórmula del binomio que lleva su nombre.
Wallis idea la expresión n!. que significa factorial de un número, es decir, multiplicar dicho número por todos sus consecutivos descendientes, hasta la unidad. 5! = 5·4·3·2·1
Bernouille desarrolla la teoría general de permutaciones y combinaciones. También Leibniz se ocupa de la combinatoria y sus trabajos dan lugar a lo que hoy conocemos como Estadística Matemática.
Plaza de San Pedro en Roma diseñada por Lorenzo Bernini (1598-1680)
El descubrimiento más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666.
Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado por entonces en Inglaterra.
Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval.
Entre los trabajos desarrollados por Newton destacamos:
Los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio.
Algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series.
Relación inversa entre diferenciación e integración.
El concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo.
También estuvo interesado en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.
El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686.
Fue tal la importancia de sus demostraciones que Inglaterra y Alemania disputaron su autoría, llegando a la conclusión de dividir la demostración en dos partes, así el cociente incremental de dos funciones de atribuye a Newton y la definición de derivada a Leibniz. Éste fue luego el que culminó todas sus fórmulas y desarrolló el cálculo integral,
Cúpula de San pedro
Influencia del concepto de derivada en la tecnología
El concepto de derivada crea un punto de inflexión en la ciencia. A partir de este momento se puede decir que nace la física.
La derivada del espacio con respecto al tiempo es la velocidad, en otras palabras tiene que haber variación de espacio y variación de tiempo para que haya movimiento.
Si Leibniz no hubiera trabajado en el Cálculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometría Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cúpula de San Lorenzo en Turín.
La matemática de Leibniz fue impresionante, ya que le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684 y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.
El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.
Entre sus trabajos destacamos:
Las reglas para la manipulación de los símbolos «» y «d» de la integral y la diferencial.
La filosófica de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. LENGUAJE MATEMÁTICO
Un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas.
La relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.
Resolución de ecuaciones y determinantes.
Contribuyó en prácticamente todos los campos del conocimiento humano, religión, política, historia, física, mecánica, tecnología, lógica, geología, lingüística e historia natural.
Newton, Leibniz, Fermat, Barrow, Pascal y los hermanos Bernouille, nos indican el florecimiento de nuevas Matemáticas. Empieza la revolución tecnológica, nace la INDUSTRIA, LENTAMENTE, EN EL SIGUIENTE SIGLO.
ES PROBABLE QUE SIN LA EXISTENCIA DE ESTOS ILUSTRES MATEMÁTICOS LA EVOLUCIÓN DE LA HUMANIDAD NO TENDRÍA EL NIVEL TECNOLÓGICO DE LA ACTUALIDAD.
Uno de los apartados más importantes del bloque de integración es el de las integrales de cocientes de polinomios.
ESQUEMA GENERAL DE INTEGRACIÓN
TIPOS DE INTEGRALES DE COCIENTES DE POLINOMIOS,
¿Qué camino seguimos?
Si el grado del numerador es mayor que el del denominador dividimos.
Cuando el denominador NO se puede descomponer y el numerador es de menor grado puede ser:
De tipo potencia: si el denominador tiene raíces dobles o triples, se aplica la fórmula de la potencia cuando el numerador es un número.
De tipo logaritmo: si el numerador es la derivada del denominador.
Tipo arcotangente o de logaritmo y tipo arcotangente: si el denominador no se puede descomponer.
Factorizar: cuando el denominador se puede descomponer y el numerador es de menor grado.
COCIENTES DE CUALQUIER FUNCIÓN
Lo primero miro si es de logaritmo
Lo segundo si es de arcotangente
SI NO ES DE UN CASO ANTERIOR miro si se puede poner como un producto de una función por su derivada y la integro como una potencia.
CUANDO TODO ESO NO VALE PUEDE SER DE CAMBIO DE VARIABLE Y TERMINARÁ EN UN CASO ANTERIOR.
Después de las integrales directas, este tipo de integrales es el más importante, porque los métodos siguientes terminan siempre en directas o en este tipo de integrales.
Vamos a analizar cada tipo con detalle.
El primer caso es de dividir aplicando la fórmula:
El segundo paso es separar la integral en suma de integrales y la última ya vemos que es de tipo logaritmo neperiano.
En este ejemplo también hay que dividir, pero al ser de segundo grado el denominador, también tendremos que analizar si el denominador se descompone o no.
Después de dividir observamos que puede ser de tipo logaritmo si conseguimos que el numerador sea la derivada del denominador.
Una vez conseguido separando la integral en suma de dos, nos quedan una de tipo logaritmo y otra de tipo arcotangente, porque el denominador no se puede descomponer.
Vemos otro caso más complicado, pero del mismo tipo.
En el ejemplo siguiente, después de dividir, observamos que es de logaritmo directamente.
Vamos a ver un caso más que primero hay que dividir. Una vez más el denominador no se puede descomponer, por tanto hay que conseguir que sea primero de logaritmo y luego de arcotangente.
Por último un repaso de los cuatro casos incluyendo uno de tipo potencia.
En las de tipo potencia el numerador tiene que ser un número y el denominador se descompone con todas las raíces iguales.
El binomio de Newton es la potencia de un binomio.
Para su fácil desarrollo basta seguir el algoritmo del triángulo de Tartaglia.
¿Quién era Tartaglia?
Tartaglia es el apodo de Nicolo Fontana, matemático importante que dedicó su vida al desarrollo de las fórmulas de ecuaciones de segundo y tercer grado.
Este desarrollo es muy importante en Álgebra, pero también en los desarrollos de las potencias de los números complejos, en combinatoria y en la probabilidad binomial, como vemos en esos capítulos.
Fuente romana inspirada en el crecimiento del triángulo de Tartaglia
El triángulo es el resultado de los números combinatorios, como observamos en la figura siguiente.
PROPIEDADES QUE OBSERVAMOS EN LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
Siempre empezamos por 1, tanto en el primero número como al principio de la fila del triángulo, porque:
Cada número del triángulo, excepto el primero, es suma de los dos que tiene encima. Por eso la fila siguiente sería: 1,5,10,10,5,1. Que son los términos independientes de la potencia de exponente 5.
Todos los desarrollos empiezan igual : la «a» elevada al máximo grado del desarrollo y «b» elevada a «0». Luego cada sumando va disminuyendo.
La fórmula general del binomio de Newton sería:
Consecuencias:
Basta observar que podemos asociar las bases en forma de suma de un binomio, es decir:
(a-b)=(a+(-b))
(a + b + c)=(a +(b + c))
Y ya se puede aplicar la fórmula del binomio de Newton.
Otra consecuencia:
Los signos van alternativos, siempre que el signo menos esté en medio, es decir (a-b).
Ejemplo:
Del desarrollo del cuadrado de un trinomio, podemos sacar una consecuencia y observar como se eleva al cuadrado una suma de 4 términos.
Aplicación del binomio de Newton a la probabilidad
Por ejemplo un matrimonio que desea tener 5 hijos tiene las siguientes probabilidades de tener un hija. Lo mismo si desea tener hijo varones.
P(cero hijas)=1/32
P( una hija)= 5/32
P(dos hijas)=10/32
P(tres hijas)=10/32
P(cuatro hijas)=5/32
P(cinco hijas)=1/32
Y así sucesivamente se puede aplicar el triángulo de Tartaglia.
El objetivo es calcular funciones sabiendo datos críticos, como máximos, mínimos, puntos de inflexión, puntos por donde pasa etc. Y lógicamente hay que saber el tipo de función que quiero hallar.
Otro apartado relacionado con crear funciones son los problemas de optimizar, de máximos y mínimos, en donde creamos una función a partir de unos datos y valoramos con ayuda de las derivadas sus puntos críticos. A esto dedicamos otro apartado.
Hallar funciones
En este apartado es el caso contrario, conocemos los puntos críticos y queremos calcular la función que ha dado lugar a ellos. Es imprescindible que nos digan de que tipo de función estamos hablando para suponer la forma general.
Esquema a tener en cuenta para calcular funciones, dependiendo de los datos
Si una función pasa por un punto (a, b) ⇒ f(a)=b SUSTITUIMOS LA «x» POR “a” y la «y» POR “b”.
Si una función tiene un máximo o un mínimo en x=c ⇒ f ’(c)=0.
Si el punto (a, b) es un máximo o un mínimo significa dos cosas:
f(a)=b porque pasa por ese punto.
f’(a)=0 porque es un mínimo o máximo.
Si una función tiene un punto de inflexión en x=a ⇒f ”(a)=0.
Si el punto de inflexión es en un punto (a, b):
f(a)=b
f’’(a)=0
Si sabemos la ecuación de la recta tangente, sabemos la pendiente en el punto que es el coeficiente de la variable x o la derivada.
En las matemáticas del siglo XXI, hay una gran influencia francesa de los bourkistas, que se aproxima a las matemáticas puras con mucho rigor en la simbología para simplificar los teoremas. Otro enfoque es la matemática aplicada que utilizan básicamente los departamentos de Física y Ciencias empresariales. Influyen en casi todas las áreas. Biología, Geología, Medicina, Ciencias sociales, Negocios, Diseño, Clima, etc..
David Hilbert (1862-1943) es uno de los más influyentes en las matemáticas del siglo XXI.
Destacamos entre otras aportaciones:
La teoría de los invariantes.
HILBERT
La forma axiomática de la geometría.
La noción de espacio de Hilbert.
Los fundamentos del análisis funcional.
Partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general.
Fundó la teoría de la demostración y la lógica matemática.
Defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro.
Origen de las computadoras, la revolución de las matemáticas del siglo XXI
Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage (1791-1871) quien diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas.
La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad.
Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.
Un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismii) es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.
Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.
Los algoritmos son la base de la programación informática, porque el ordenador no piensa, sigue una serie de instrucciones que alguien le ordena, el orden es la clave del buen funcionamiento.
Para crear los algoritmos se necesita un lenguaje o un código de instrucciones, como por ejemplo el HTML.
Diagrama de flujo
El lenguaje digital ha llevado a la creación del “arte digital”, con creaciones para internet y para aplicaciones de móviles.
Arte digital
Diseño por ordenador
Esto ha llevado a nuevas profesiones del siglo actual como:
Diseñadores de paginas de internet y de simples botones de aplicaciones para móviles.
La informática en matemáticas ha llevado a progresos que antes eran imposibles, como el obtener para el número “pi” tantos decimales como aparecen en la foto siguiente.
La informática nos lleva a campos que hasta este momento eran muy poco tecnológicos, como la agricultura de precisión en la que ocupan un papel importante las imágenes satelitales, los drones , los sensores, las tablets..
En este momento resaltan empresas emprendedoras como PLANTAE. Con una plataforma que recoge en tiempo real el grado de humedad, temperatura y conductividad del subsuelo de los cultivos. Una agricultura de precisión enfocada a la mejora de la agroalimentación.
La informática se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como:
Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores, propuesto a mediados del siglo XIX.
Cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa.
Teorema de los cuatro colores
El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).
Botella de Klein
En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencia de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el sentido de que una superficie de Klein admite una estructura di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible función de transición a una estructura analítica -consistente en la conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución.
Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
Diseños topológicos con ordenador
Un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismi1) es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.
En matemáticas tenemos:
El algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números.
El algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos.
El método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones.
Los algoritmos son la base de la programación informática, porque el ordenador no piensa, sigue una serie de instrucciones que alguien le ordena, el orden es la clave del buen funcionamiento.
Grafos topológicos, la geometría fractal
Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos.
La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza”.
La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.
Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria.
Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a su dimensión topológica.
Presenta las siguientes características:
Autosimilitud.
Dimensión Fractal.
Edificio futurista
Características de un edificio del siglo XXI:
Albergar tecnología en cuatro frentes diferentes: seguridad, comunicaciones, apoyo Logístico y automatización de procesos.
Un buen edificio inteligente es aquel que logra un balance perfecto entre alta tecnología, recursos económicos y capacidad operativa.
Materiales con certificación de resistencia a los rayos ultra violeta
Deben concebirse en un diálogo con el clima, la geografía y las características socioculturales, económicas y tecnológicas del país.
En tanto en materia ambiental, la tendencia mundial exige normas y patrones que responden a políticas energéticas cada vez más restrictivas, con disminución de las emisiones de gases contaminantes del planeta.
Paliar los efectos nocivos de agentes como la energía solar, y, estudiar alternativas de aprovechamiento sustentable de ella.
Ahorro energético, una ecuación armónica luz solar/ luz artificial, y así aportar al ahorro de electricidad en virtud de una optimización de la iluminación natural de los recintos.
Todo esto se consigue con un equipo de distintos profesionales que optimizan con desarrollos matemáticos todas las exigencias del momento.
No olvidamos partes comunes con el pasado, las simetrías, las curvaturas, el color, siguen presentes desde el principio al final y seguirán estando en el futuro.
Torre mástil en Dubai
El más alto es Árabe. Por ahora solo un proyecto.
La criptografía
La criptografía es el «arte y técnica de escribir con procedimientos o claves secretas o de un modo enigmático, de tal forma que lo escrito solamente sea inteligible para quien sepa descifrarlo». En dos palabras «escritura oculta».
En criptografía, un protocolo de conocimiento cero o prueba de conocimiento nulo (CKP,Zero Knowledge Proof), establece un método para que una de las partes pruebe a otra que una declaración (generalmente matemática) es cierta, sin revelar nada más que la veracidad de la declaración.
Estamos en la era de la informática, el uso masivo de comunicaciones digitales lleva a un creciente problema de seguridad. Tenemos que evitar que las transacciones que realizamos a través de la red puedan ser captadas.
En esta línea la criptografía se encarga del estudio de algoritmos para proteger la información y las comunicaciones entre varias entidades.
Los algoritmos son un grupo determinado de secuencias lógicas y ordenadas que nos permiten solucionar un determinado problema. El más básico y conocido es el algoritmo que permite descomponer un número muy alto en sus divisores y así calcular el máximo común divisor. Los pasos son lógicos y consecutivos, hasta llegar a la Machine Learning o aprendizaje de máquina, producto de la computación y la neurociencia.
Dentro del aprendizaje profundo debemos simular un sistema de redes artificiales de neuronasdentro del software de análisis de datos.
Proporcionar una entrada con suficientes datos para poder reconocer patrones, clasificarlos y convertirlos en categorías. Estos datos se suman y transforman. Finalmente se ofrece un resultado.
solución final.
Los criptógrafos usan estas técnicas matemáticas avanzadas como una secuencia de instrucciones que conducen a realizar una operación con la informática. Y eso nos lleva a la programación.
Latecnología blockchain
O (cadena de bloques) es una infraestructura que te permite construir sobre internet, y crear otra capa sobre la que las personas van a poder intercambiar valor entre ellas. Sencillamente es un gran libro de cuentas. Los bloques están enlazados y encriptados para que se proteja la seguridad y la privacidad.
Está diseñada para ser una base de datos común pero descentralizada, para que empresas o diferentes agentes de un mismo sector puedan compartir información, procesos, servicios y todo ello de forma verificada por varios usuarios. Vamos a pasar del internet de la información al internet del valor, dando lugar a una auténtica revolución industrial en la red.
Resolver ecuaciones trigonométricas requiere tener conocimientos de todas las fórmulas trigonométricas y además aprender algunas estrategias.
Tenemos distintas formas de resolver las ecuaciones trigonométricas, dependiendo de la estructura. Pueden tener la misma razón trigonométrica o no y ser de primer grado o segundo grado.
Ecuaciones trigonométricas con un cambio de variable
Cuando la ecuación trigonométrica tiene la misma razón y se puede transformar en una ecuación de segundo grado. Por ejemplo el caso siguiente tiene seno.
Cuando tienen distintas razones trigonométricas, debemos transformar toda la ecuación en otra con una razón fija
En muchas ocasiones debemos recurrir a las fórmulas trigonométricas, como es el ejemplo siguiente que utiliza la fórmula del seno del ángulo doble.
Transformar la ecuación trigonométrica en una radical por cambio de variable
Es muy normal tener que utilizar la fórmula fundamental del la trigonometría, cuando queremos convertir el coseno en seno o viceversa.
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
Cuando tenemos dos variables. Los métodos que utilizamos son los normales de resolver cualquier sistema.
Puede ser de reducción, igualación o sustitución.
Utilizamos el método de reducción
TRANSFORMACIONES DE SUMA A PRODUCTO Y PRODUCTO A SUMA
PARTIMOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS DEL ÁNGULO SUMA Y DIFERENCIA
Es muy fácil demostrarlas y así no tenemos que memorizarlas que son todas muy parecidas y se pueden confundir.
FÓRMULAS QUE PASAN SUMAS DE RAZONES A PRODUCTOS
DEMOSTRACIÓN
Siempre partimos de las fórmulas de la suma o diferencia que son básicas. Estas fórmulas también se utilizan en cálculo integral. Por ello es importante saber demostrarlas.
APLICACIONES DE LAS SUMAS TRANSFORMADAS
PRODUCTOS PARA RSOLVER ECUACIONES
Siempre recurrimos a este método cuando los ángulos son diferentes.
» y «d» de la integral y la diferencial.
MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO 