Las matemáticas en el Barroco son las que se desarrollan entre el tiempo que transcurre desde la muerte de Viète en 1603 y el matemático Euler en 1707.
Lo más destacado de las matemáticas del Barroco
El reconocimiento de los números arábigos, vigentes hasta estos días.
La invención de los logaritmos.
El cálculo diferencial que cambia el rumbo de la ciencia.
En otros campos de la destacamos:
Estructura del cuerpo humano.
Estudio de la célula, animal y vegetal.
Isaac Newton enuncia «La Ley de Gravitación Universal».
Se inventa el termómetro. el telescopio y el microscopio.
Boyle perfeccionó la máquina neumática.
Torricelli inventó el barómetro de cubeta.
Los logaritmos
Pero centrándonos en las matemáticas, lo más notorio de los comienzos de este siglo XVII es el invento del escocés Neper de los logaritmos, del que procede el nombre de logaritmo neperiano, de base «e».
Su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida, porque simplifican los cálculos.
Logaritmo: del griego «logos» que significa razón, proporción, manera o relación y de «arithmos» que significa número. Nos despejan una variable del exponente de una función. Al principio, Neper llamo a los logaritmos números artificiales.
Para calcular su valor actualmente tenemos las calculadoras científicas, antes se calculaban por medio de unas tablas.
Otros avances muy importantes:
Se emplea el signo «x» para la multiplicación.
Descartes populariza el signo «igual a» = y utiliza por primera vez x².
Wallis utiliza el signo œ para infinito.
El que más notación crea es Leibniz que utiliza por primera ve el signo de integral ∫.
EL INICIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Descartes da 4 reglas para idear un buen método de estudio:
Partir de principios claros y evidentes.
Dividir cada una de las dificultades que se examinan, en cuantas partes sea posible. Particiones.
Conducir ordenadamente los pensamientos, empezando por los objetos más simples, para ascender hasta el conocimiento de los más compuestos.
Hacer revisiones generales para estar seguro de no omitir nada.
Con esta claves, hace un estudio de la geometría analítica, basado en:
A partir de una ecuación, hallar el lugar geométrico de puntos que representa.
Dado el lugar geométrico de puntos, hallar la ecuación cartesiana.
Llevar el Álgebra al estudio geométrico.
Parte de las coordenadas y crea la idea de función cartesiana. esto e el inicio del cálculo, aunque estudiado en el plano geométrico. se utilizan coordenadas rectangulares y polares.
El matemático francés Desargues estudia la geometría proyectiva.
Geometría proyectiva
Influencia en la pintura de la época de la geometría proyectiva
Pascal escribió una obra completa sobre las cónicas y sienta las bases del cálculo de probabilidades. Desarrolla la teoría a partir de la correspondencia que se establece entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christian Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.
Detalle de una pintura del siglo XVII, “proyectiles” del 1648
Otro matemático francés, Fermat halla máximos y mínimos y expone un método para cambiar el valor de las variables al tomar valores próximos. Utilizaba los infinitesimales para el cálculo de áreas bajo una curva por medio de rectángulos. Uno de los escritos que se encuentran de fermat es el del problema que lleva su nombre y que él aseguraba tenía solución con números enteros y aun no se ha encontrado.
Matemáticas del Barroco
Estos cálculos ayudaron a Kepler (1571-1630) a calcular el volumen de las cubas de lo fabricantes de vino y resuelve problemas de áreas.
Pascal y Fermat también estudiaron los números combinatorios, que luego usaría Newton para desarrollar la fórmula del binomio que lleva su nombre.
Wallis idea la expresión n!. que significa factorial de un número, es decir, multiplicar dicho número por todos sus consecutivos descendientes, hasta la unidad. 5! = 5·4·3·2·1
Bernouille desarrolla la teoría general de permutaciones y combinaciones. También Leibniz se ocupa de la combinatoria y sus trabajos dan lugar a lo que hoy conocemos como Estadística Matemática.
Plaza de San Pedro en Roma diseñada por Lorenzo Bernini (1598-1680)
El descubrimiento más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666.
Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado por entonces en Inglaterra.
Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval.
Entre los trabajos desarrollados por Newton destacamos:
Los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio.
Algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y de inversión de series.
Relación inversa entre diferenciación e integración.
El concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo.
También estuvo interesado en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.
El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686.
Fue tal la importancia de sus demostraciones que Inglaterra y Alemania disputaron su autoría, llegando a la conclusión de dividir la demostración en dos partes, así el cociente incremental de dos funciones de atribuye a Newton y la definición de derivada a Leibniz. Éste fue luego el que culminó todas sus fórmulas y desarrolló el cálculo integral,
Cúpula de San pedro
Influencia del concepto de derivada en la tecnología
El concepto de derivada crea un punto de inflexión en la ciencia. A partir de este momento se puede decir que nace la física.
La derivada del espacio con respecto al tiempo es la velocidad, en otras palabras tiene que haber variación de espacio y variación de tiempo para que haya movimiento.
Si Leibniz no hubiera trabajado en el Cálculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometría Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cúpula de San Lorenzo en Turín.
La matemática de Leibniz fue impresionante, ya que le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684 y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.
El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral.
Entre sus trabajos destacamos:
Las reglas para la manipulación de los símbolos «» y «d» de la integral y la diferencial.
La filosófica de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y fórmulas. LENGUAJE MATEMÁTICO
Un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de símbolos y fórmulas.
La relación entre la sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo característico.
Resolución de ecuaciones y determinantes.
Contribuyó en prácticamente todos los campos del conocimiento humano, religión, política, historia, física, mecánica, tecnología, lógica, geología, lingüística e historia natural.
Newton, Leibniz, Fermat, Barrow, Pascal y los hermanos Bernouille, nos indican el florecimiento de nuevas Matemáticas. Empieza la revolución tecnológica, nace la INDUSTRIA, LENTAMENTE, EN EL SIGUIENTE SIGLO.
ES PROBABLE QUE SIN LA EXISTENCIA DE ESTOS ILUSTRES MATEMÁTICOS LA EVOLUCIÓN DE LA HUMANIDAD NO TENDRÍA EL NIVEL TECNOLÓGICO DE LA ACTUALIDAD.
En las matemáticas del siglo XXI, hay una gran influencia francesa de los bourkistas, que se aproxima a las matemáticas puras con mucho rigor en la simbología para simplificar los teoremas. Otro enfoque es la matemática aplicada que utilizan básicamente los departamentos de Física y Ciencias empresariales. Influyen en casi todas las áreas. Biología, Geología, Medicina, Ciencias sociales, Negocios, Diseño, Clima, etc..
David Hilbert (1862-1943) es uno de los más influyentes en las matemáticas del siglo XXI.
Destacamos entre otras aportaciones:
La teoría de los invariantes.
HILBERT
La forma axiomática de la geometría.
La noción de espacio de Hilbert.
Los fundamentos del análisis funcional.
Partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general.
Fundó la teoría de la demostración y la lógica matemática.
Defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro.
Origen de las computadoras, la revolución de las matemáticas del siglo XXI
Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage (1791-1871) quien diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas.
La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad.
Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.
Un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismii) es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.
Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.
Los algoritmos son la base de la programación informática, porque el ordenador no piensa, sigue una serie de instrucciones que alguien le ordena, el orden es la clave del buen funcionamiento.
Para crear los algoritmos se necesita un lenguaje o un código de instrucciones, como por ejemplo el HTML.
Diagrama de flujo
El lenguaje digital ha llevado a la creación del “arte digital”, con creaciones para internet y para aplicaciones de móviles.
Arte digital
Diseño por ordenador
Esto ha llevado a nuevas profesiones del siglo actual como:
Diseñadores de paginas de internet y de simples botones de aplicaciones para móviles.
La informática en matemáticas ha llevado a progresos que antes eran imposibles, como el obtener para el número “pi” tantos decimales como aparecen en la foto siguiente.
La informática nos lleva a campos que hasta este momento eran muy poco tecnológicos, como la agricultura de precisión en la que ocupan un papel importante las imágenes satelitales, los drones , los sensores, las tablets..
En este momento resaltan empresas emprendedoras como PLANTAE. Con una plataforma que recoge en tiempo real el grado de humedad, temperatura y conductividad del subsuelo de los cultivos. Una agricultura de precisión enfocada a la mejora de la agroalimentación.
La informática se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como:
Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores, propuesto a mediados del siglo XIX.
Cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa.
Teorema de los cuatro colores
El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores.
Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).
Botella de Klein
En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencia de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el sentido de que una superficie de Klein admite una estructura di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible función de transición a una estructura analítica -consistente en la conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución.
Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
Diseños topológicos con ordenador
Un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismi1) es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.
En matemáticas tenemos:
El algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números.
El algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos.
El método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones.
Los algoritmos son la base de la programación informática, porque el ordenador no piensa, sigue una serie de instrucciones que alguien le ordena, el orden es la clave del buen funcionamiento.
Grafos topológicos, la geometría fractal
Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos.
La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza”.
La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.
Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria.
Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a su dimensión topológica.
Presenta las siguientes características:
Autosimilitud.
Dimensión Fractal.
Edificio futurista
Características de un edificio del siglo XXI:
Albergar tecnología en cuatro frentes diferentes: seguridad, comunicaciones, apoyo Logístico y automatización de procesos.
Un buen edificio inteligente es aquel que logra un balance perfecto entre alta tecnología, recursos económicos y capacidad operativa.
Materiales con certificación de resistencia a los rayos ultra violeta
Deben concebirse en un diálogo con el clima, la geografía y las características socioculturales, económicas y tecnológicas del país.
En tanto en materia ambiental, la tendencia mundial exige normas y patrones que responden a políticas energéticas cada vez más restrictivas, con disminución de las emisiones de gases contaminantes del planeta.
Paliar los efectos nocivos de agentes como la energía solar, y, estudiar alternativas de aprovechamiento sustentable de ella.
Ahorro energético, una ecuación armónica luz solar/ luz artificial, y así aportar al ahorro de electricidad en virtud de una optimización de la iluminación natural de los recintos.
Todo esto se consigue con un equipo de distintos profesionales que optimizan con desarrollos matemáticos todas las exigencias del momento.
No olvidamos partes comunes con el pasado, las simetrías, las curvaturas, el color, siguen presentes desde el principio al final y seguirán estando en el futuro.
Torre mástil en Dubai
El más alto es Árabe. Por ahora solo un proyecto.
La criptografía
La criptografía es el «arte y técnica de escribir con procedimientos o claves secretas o de un modo enigmático, de tal forma que lo escrito solamente sea inteligible para quien sepa descifrarlo». En dos palabras «escritura oculta».
En criptografía, un protocolo de conocimiento cero o prueba de conocimiento nulo (CKP,Zero Knowledge Proof), establece un método para que una de las partes pruebe a otra que una declaración (generalmente matemática) es cierta, sin revelar nada más que la veracidad de la declaración.
Estamos en la era de la informática, el uso masivo de comunicaciones digitales lleva a un creciente problema de seguridad. Tenemos que evitar que las transacciones que realizamos a través de la red puedan ser captadas.
En esta línea la criptografía se encarga del estudio de algoritmos para proteger la información y las comunicaciones entre varias entidades.
Los algoritmos son un grupo determinado de secuencias lógicas y ordenadas que nos permiten solucionar un determinado problema. El más básico y conocido es el algoritmo que permite descomponer un número muy alto en sus divisores y así calcular el máximo común divisor. Los pasos son lógicos y consecutivos, hasta llegar a la Machine Learning o aprendizaje de máquina, producto de la computación y la neurociencia.
Dentro del aprendizaje profundo debemos simular un sistema de redes artificiales de neuronasdentro del software de análisis de datos.
Proporcionar una entrada con suficientes datos para poder reconocer patrones, clasificarlos y convertirlos en categorías. Estos datos se suman y transforman. Finalmente se ofrece un resultado.
solución final.
Los criptógrafos usan estas técnicas matemáticas avanzadas como una secuencia de instrucciones que conducen a realizar una operación con la informática. Y eso nos lleva a la programación.
Latecnología blockchain
O (cadena de bloques) es una infraestructura que te permite construir sobre internet, y crear otra capa sobre la que las personas van a poder intercambiar valor entre ellas. Sencillamente es un gran libro de cuentas. Los bloques están enlazados y encriptados para que se proteja la seguridad y la privacidad.
Está diseñada para ser una base de datos común pero descentralizada, para que empresas o diferentes agentes de un mismo sector puedan compartir información, procesos, servicios y todo ello de forma verificada por varios usuarios. Vamos a pasar del internet de la información al internet del valor, dando lugar a una auténtica revolución industrial en la red.
Las matemáticas en Mesopotamia. Su civilización tiene la misma antigüedad que la de Egipto y unos conocimientos similares.
Matemáticas en Mesopotamia
Las primeras referencias de matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Los pobladores de estas civilizaciones tenían la necesidad de predecir el tiempo, porque cada vendaval que asolaba sus tierras los dejaba con más de un problema.
Construcción de un calendario
Para construir un calendario se necesitan:
Conocimientos matemáticos.
Tener investigadores.
Solucionar el problema de la agricultura.
Generan operaciones aritméticas.
Partes de las matemáticas de Mesopotamia
La aritmética (estudio de los números y sus operaciones).
Cálculos geométricos.
Planteamiento de los primeros problemas sin demostración y sin definir los axiomas que los determinan.
Tabla de problemas que valida su existencia.
No se sabe muy bien cuál es el inicio del número.
Está demostrado que algunos pájaros distinguen entre uno, dos y varios, por tanto está claro que el hombre pronto sentiría la necesidad de contar sus rebaños.
Las tribus más atrasadas disponen de un sistema para contar. Cada cultura adoptaba formas distintas y distintos símbolos.
Los datos históricos empiezan en Egipto y Babilonia unos 4000 a.C.
En ambos casos se refieren a calendarios, seguramente necesarios para la agricultura.
En algunas culturas usaban 12 signos, porque contaban con las rayas de los dedos de la mano. Algunas tribus de África aún la usan y nosotros todavía contamos algunas cosas por docenas.
El sistema babilónico
Se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo.
Matemáticas en Mesopotamia
Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron:
Encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado.
Encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado.
Resolvieron problemas utilizando el teorema de Pitágoras.
Recopilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir.
Tablas de cuadrados.
Tablas de interés compuesto.
Calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.
Expresaron números con letras intuyendo la necesidad de globalizarlos.
Tomaron el valor de π=3.
Nos dejaron el horóscopo zodiacal de 360 partes.
Heredamos la división del tiempo en 60 minutos, 60 segundos.
La medida delos ángulos en grados, minutos y segundos.
El problema es que sus conocimientos los mantenían secretos en sectas sacerdotales. Pitágoras hizo desaparecer este secretismo.
Hacemos un recorrido por la historia de las matemáticas en Grecia.
El paso de la edad de bronce a la edad del hierro, en el año 900 a. de C. provoca la caída de las antiguas civilizaciones y da paso a la Griega.
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios.
Realizaron sus cálculos valiéndose de los dedos o con la ayuda de guijarros.
A medida que se fueron complicando los cálculos, los guijarros se dispusieron en columnas, diferenciándose así las unidades pertenecientes a los distintos órdenes.
Con el paso del tiempo, las columnas fueron reemplazadas por hilos o varillas de alambre (fijadas en un bastidor) y los guijarros por cuentas ensartadas en los alambres
De este modo pudo surgir el ábaco.
La tradición atribuye a Pitágoras la introducción del ábaco en Grecia.
Signos utilizados en las matemáticas de Grecia
SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁPICE
La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas:
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa.
La lógica es una teoría de argumentación y dentro de las matemáticas hoy se aplica a las ciencias de la computación que son aquellas que abarcan las bases teóricas de la INFORMÁTICA y la COMPUTACIÓN, así como su aplicación en SISTEMAS COMPUTACIONALES.
Período Helénico
Dura hasta la muerte de Alejandro Magno y Aristóteles. Las matemáticas en Grecia están unidas a la filosofía y se desarrollan en la Escuela Jónica con:
Thales de Mileto.
Escuela Pitagórica.
Los Sofistas o los Eleatas.
THALES DE MILETO
Nació y murió en Mileto. Se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte.
Se atribuyen a Thales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides.
Semicírculo que ilustra un teorema de Thales.
Todo triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo, tiene el ángulo opuesto de 90 grados.
Un triángulo isósceles tiene todos los ángulos iguales.
La rectas paralelas cortadas por otra tienen ángulos internos iguales.
EL círculo la única figura plana que tiene un nombre par la parte interior y otra para la exterior.
El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Lo ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
Todo diámetro divide al círculo en dos partes iguales.
Toda recta paralela a uno de los dos lados de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales.
El concepto de lugar geométrico.
Estudio de las proporciones.
Mide alturas con ayuda de un bastón y las sombras.
Es capaz de calcular la distancia de los barcos a la costa, por semejanza.
El círculo considerada la figura perfecta, de tal manera que una elipse no se conocía como tal, se consideraba una circunferencia deformada.
Thales era comerciante, así tuvo conocimiento de las culturas egipcia y mesopotámica.
Forma de medir una altura
“El proceso consistía en levantar un bastón en el extremo de la sombra proyectada por la pirámide y habiendo formado – de este modo – dos triángulos con los rayos del sol, mostrase que la pirámide está con el bastón en la misma razón que la sombra de la pirámide está con la sombra del bastón».
En la actualidad es imprescindible el estudio de teorema para:
Aplicaciones al dibujo lineal.
Estudio de la trigonometría.
Geometría plana y del espacio.
Teorema de Thales:
Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos determinados en una secante son proporcionales a los determinados en la otra secante.
Los ángulos internos son iguales.
Escuela Pitagórica
Secta filosófica, científica y religiosa.
“El número es principio de todas las cosas”
Se funda en Crotona (Italia).
Su máximo exponente es Pitágoras de Samos.
Relacionan la música con la matemática.
Matematizan fenómenos naturales.
Fundan las matemáticas como sistema deductivo.
Los pitagóricos hacen de la matemática una ciencia por excelencia y hacen su primera división.
Pitágoras
Vivió unos 50 años después de Thales, fundó la escuela pitagórica dedicada al estudio de la filosofía, la medicina y las matemáticas.
Enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
Dividieron los números naturales en pares e impares (femenino y masculino, respectivamente).
Dividen la Aritmética como ciencia.
Inventan la denominación de números amigos y números perfectos.
Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias aritméticas, geométricas y armónicas
Relacionan la música con la matemática.
Matematizan fenómenos naturales.
Fundan las matemáticas como sistema deductivo.
Los pitagóricos hacen de la matemática una ciencia por excelencia y hacen la primera división.
El volumen de una pirámide.
El área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares que son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado).
La trisección de un ángulo.
La duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado).
Suma de los ángulos de un triángulo 180º.
Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias aritméticas, geométricas y armónicas.
Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
Incluso su famoso teorema “la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás.
3²+4²=5²
Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números.
Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota.
Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, es decir en relación 1:2 obtenemos una octava.
Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta.
Si es 2:3 tenemos la quinta.
El Quadrivium
Materias de enseñanza propuesta por los pitagóricos, usada hasta mediados de la edad media:
ARITMÉTICA
MÚSICA
ASTRONOMÍA
GEOMETRÍA
A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir la diagonal de un cuadrado, RESULTABA UN NÚMERO CON INFINITAS CIFRAS DECIMALES
Supongamos un cuadrado de lado un metro. La diagonal mide la raíz cuadrada de 2 y el resultado es:
SÍMBOLO DE LA ESCUELA PITAGÓRICA CON LA PROPORCIÓN ÁUREA, OTRO NÚMERO INCONMENSURABLE
Y su resultado no tiene final, tenemos un número irracional que no podían comprender en aquella época y que ya predijo Pitágoras.
Además el hecho de comentar su descubrimiento podía tener malas consecuencias, porque todo lo que no se podía comprender se podía tomar como una herejía y llevar consigo pena de muerte.
Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se denomina número irracional).
Los sofistas
En el siglo V a.C., Parménides fundó una escuela de filosofía en Elea, colonia griega en la península Itálica (Magna Grecia).
Parménides adoptó una actitud opuesta a la de Heráclito en la relación entre estabilidad y cambio y mantuvo que el universo se puede describir como una esfera indivisible e inmutable y que toda referencia o cambio es por sí misma contradictoria.
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, intentó probar la unidad del ser afirmando que la creencia en la realidad de cambio, la diversidad y el movimiento lleva a paradojas lógicas.
Las paradojas de Zenón llegaron a ser enigmas intelectuales que filósofos y lógicos de todas las épocas posteriores han intentado resolver. El interés de los eleáticos por el problema de la consistencia racional propició el desarrollo de la ciencia de la lógica.
Los sofistas aportaron
Suma de puntos.
El tiempo como suma de instantes.
Movimiento como suma de pasajes de un lugar a otro.
Aportó a la matemática recursos de orden lógico, metodológico y hasta técnico.
Su proceso dicotómico se usa como recurso de demostración y el método de reducción al absurdo, es una consecuencia del principio de contradicción eje de sus raciocinios.
Desecha la concepción monádica de los pitagóricos.
LA ACADEMIA
Fue fundada por Platón en el siglo IV a.C.
En la entrada a la Academia se leía: “Nadie que ignore geometría penetre bajo mi techo”
En los diálogos de Platón aparece consideraciones matemáticas.
Platón sintetiza su amor a la matemática con la frase: “Dios geometriza constantemente”
Platón
Filósofo griego, alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles, de familia nobilísima y de la más alta aristocracia.
Durante su juventud luchó como soldado en las guerras del Peloponeso de las cuales Atenas salió derrotada, y el poder y la economía que ostentaba sobre el mundo griego cayó en las manos de Esparta.
Euclides asigna a Platón las siguientes contribuciones:
El método analítico (método de demostración).
Una solución de la ecuación pitagórica.
El problema de la duplicación del cubo (dudosa).
Clasificación de los poliedros (sólidos platónicos).
Fue fundador de la Academia de Atenas, donde estudió Aristóteles. Participó extensivamente en la enseñanza en la Academia y escribió sobre muy diversos temas filosóficos, especialmente los que trataban de la política, ética, metafísica y epistemología.
Las obras más famosas de Platón fueron sus diálogos.
EL LICEO
Aristóteles nació en Estagirael año 384 a. C. Fue instruido por Platón y creó el Liceo. Murió a los 72 años en el año 322 a. C.
No fue matemático profesional, pero dio un empuje importante en el campo de la lógica, que ayudo a fundamentar el sistema de la matemática.
Sus aportes en el campo de la lógica viene influenciado por los pitagóricos, en lo que respecta a la matemática. cómo alumno y discípulo de Platón, desarrolla su pensamiento, pero también lo critíca.
• La discrepancia con su maestro le hace plantear su concepción de la realidad (Physis).
• Heráclito y Parménides hicieron una explicación muy parcial mediante la unidad y la pluralidad.
• De Anaxágoras Aristóteles recogió el noûs ( la Inteligencia).
• De los pitagóricos valora su dedicación por las matemáticas.
• Para Aristóteles, las Ideas son inmanentes a las cosas particulares y concretas, que son las que forman la verdadera realidad
Sus trabajos lógicos se encierran en la gran obra Organon.
Teoría de Proporcionalidad
El método de exhaución (equivalente al cálculo integral).
Categorías.
Hermeneia.
Analíticos Primeros (dos libros).
Analíticos Segundos (dos libros).
Tópicos (ocho libros).
Elencos sofísticos.
Helenístico dura hasta el principio de la era cristiana y tiene su esplendor con Euclides, Arquímedes y Apolonio.
Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música.
Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como:
La geometría de polígonos y del círculo
La teoría de números
La teoría de los inconmensurables,
La geometría del espacio
La teoría elemental de áreas y volúmenes.
Los postulados de Euclides
Por cualquier punto se puede trazar una recta que pasa por otro punto cualquiera.
Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
Con un centro dado y un radio dado se puede trazar un círculo.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado con que están los ángulos menores que dos rectos.
Los dos primeros postulados establecen la existencia de la recta determinada por dos puntos.
El tercer postulado establece la existencia y la unicidad de una circunferencia dado su centro y su radio.
Los primeros cuatro postulados admiten la existencia de rectas y circunferencias.
El quinto postulado fija las condiciones para que dos rectas determinen un punto, cuya unicidad se complementa con una noción común (9).
Nociones comunes
Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sí.
Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los restos son iguales.
Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los resulta dos son iguales.
Si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los resultados son desiguales.
Las cosas dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí.
Las cosas que se pueden superponer una a la otra son iguales entre sí.
El todo es mayor que la parte.
Dos rectas no comprenden un espacio. (esta noción complementa la unicidad del punto).
Se observa que para los griegos la geometría estaba constituida esencialmente por el punto, la recta y la circunferencia.
ESQUEMA DE UN ALGORITMO PARA PROGRAMARLO
Algoritmo de Euclides: algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números MCD (m,n) donde m > n, que se puede resumir como sigue:
Dividir m entre n. Sea r el resto.
Si r = 0, entonces (Máximo común divisor) MCD (m,n) = n.(Fin)
Si r ≠ 0, entonces MCD (m, n) =MCD (n, r ).
Volvemos a dividir n entre r (n, r) como en el paso 1.
Por ejemplo, para calcular el MCD (27,12), tenemos:
27 = 12·2+3
12 = 3·4+0 Como el resto es 0, ya terminamos
Entonces, MCD(27,12) = 3.
En general podemos afirmar que se debe a Euclides el concepto de Algoritmo como procedimiento definido para la solución de un problema, paso a paso, en un número finito de pasos.
El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo llamado Apolonio de Perga.
Decía Leibniz “Quien comprenda a Arquímedes y a Apolonio admirará menos los logros de hombres posteriores.”
Arquímedes
Nació alrededor del año 289 a.C. en Siracusa (la parte sur de Sicilia), hijo del astrónomo y matemático Fidias.
De su padre aprendió cuestiones de ciencia, más adelante trabajando en Alejandría obtiene perfeccionamiento en sus conocimientos en colaboración con otros grandes matemáticos.
Sus inventos gozaban de admiración, por ejemplo aquello que facilitó agua a ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba agua durante las inundaciones.
En la última etapa de su vida participó en al defensa de sus ciudad natal de los invasores romanos, confeccionando máquinas para la defensa e inventando armas.
Durante el ataque y toma de Siracusa en 212 a.C., Arquímedes fue asesinado y su biblioteca e instrumentos saqueados. A raíz de ese hecho se cuenta la historia acerca de su asesinato: “…un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron concentrado e inmutable trazando en la arena complicadas figuras geométricas ‘no toques mis círculos’ exclamo Arquímedes cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes”.
Marcelo, que había encargado explícitamente que no mataran a Arquímedes pues sabía de su fama de gran sabio, encargó que se le hiciera un funeral de honor y esculpió en su lápida un grabado con una imagen de una esfera dentro de un cilindro.
Las obras de Arquímedes fueron escritos fundamentalmente en cartas. Hasta nosotros han llegado diez obras grandes y algunas más pequeñas de carácter matemático. La característica fundamental de sus obras matemáticas son aplicaciones de métodos matemáticos rigurosos en al mecánica y la física.
Un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas.
Llega a conseguir 5 decimales del número π
Las cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola) habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes.
También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua.
Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo.
Numerosos inventos y descubrimientos mecánicos de Arquímedes son ampliamente conocidos como:
El tornillo sin fin.
Los sistemas de palancas.
Bloques y tronillos para el levantamiento y movimiento de grandes pesas.
Su contemporáneo, Apolonio, escribió
Un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres, elipse, hipérbola y parábola.
Calculó sus ejes, diámetro, asíntotas, vértices y polos.
Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII. Desde Apolonio hasta Descartes no hubo ningún avance.
Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio “Escuela de Alejandría”, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla.
Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.
Hoy tenemos en los libros de bachillerato su fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera en función de los lados.
Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico en los Grados de Matemáticas.
Tras la época de Arquímedes, las matemáticas sufrieron unas transformaciones radicales.
Ptolomeo A éste ilustre filósofo matemático debemos la idea de que el universo se compone por nueve círculos, o mejor dicho, de nueve esferas que se mueven. La esfera exterior es la del cielo que abarca las demás y en la cual están fijas las estrellas. Más abajo giran siete globos arrastrados por un movimiento contrario al del cielo.
En el primero, gira la estrella que los hombres llaman Saturno.
El segundo marcha Júpiter, el astro bienhechor y propicio de los humanos.
Marte, rutilante, que ocupa el tercero
Debajo, situado en la región media, brilla el Sol, jefe, príncipe moderador de los destinos del mundo, cuyo inmenso globo ilumina y llena el espacio con su luz.
Después siguen como dos compañeros, Venus y Mercurio
Finalmente el globo inferior está ocupado por la Luna, que toma su luz del astro del día.
Debajo de este último círculo celeste todo es mortal y corruptible, a excepción de las almas, dadas por la bondad divina a la raza de los hombres. Por encima de la luna todo es eterno. Nuestra Tierra, colocada en el centro del mundo y alejada del cielo por todos lados, permanece inmóvil y todos los cuerpos graves son arrastrados hacia ella por su propio peso.
Ptolomeo fue el primer astrónomo en crear el ALMAGESTO
El cuadrante (cuarta parte de la circunferencia de 360) fue el primer instrumento utilizado por los navegantes que lograba obtener con presión matemática aunque con un ligero error matemático.
Los navegantes se han valido siempre de la posición de las estrellas para obtener su posición en cualquier punto de la tierra
En desacuerdo con esta posición los navegantes empleaban una serie de formulas matemáticas que les permitía calcular los ángulos de latitud y longitud, por ejemplo al tomar como referencia la estrella polar (en la regiones septentrionales o del norte)
Renacimiento es el movimiento cultural que surge en Europa el siglo XIV y XV pero su apogeo es en el siglo XVI, caracterizado por un renovado interés por el pasado grecorromano clásico y especialmente por su arte.
Matemáticas en el renacimiento
Entramos en el despertar del mundo occidental. El renacimiento se caracterizó en matemáticas, principalmente por el surgimiento del álgebra y fue una continuación de la tradición medieval, ya que Regiomontano reconoció la importancia del álgebra arábiga y latina, puesto que conoció el trabajo de al-Khowarizmi y de Fibonacci.
Desarrollo de las matemáticas en el renacimiento
Estudios sobre problemas del infinito.
Fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado que fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Seguramente basada en estudios de Fibonacci que ya observa que algunas ecuaciones de tercer grado no tenían raíces racionales.
Tartaglia, apodo de Niccolo Fontana, porque era tartamudo, demostró que algunas ecuaciones de tercer grado se podían resolver con una fórmula.
Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.
Fue esta búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.
Estudios matemáticos
Fue el resurgir de los estudios matemáticos y esto es clave en los cambios tanto del arte como de las ciencias en general.
A Tartaglia le debemos también el triángulo que lleva su nombre, de máxima importancia para el desarrollo del binomio de Newton mucho tiempo después y de importantes aplicaciones a la economía del siglo XX. Fuente romana con el triángulo de Tartaglia.
También volveremos a él en el tema del siglo XXI, porque es de vital importancia en estudios probabilísticos y de topología.
Si algo une a las matemáticas de todo el mundo es su lenguaje universal. Simplifican los cálculos y tienen un lenguaje técnico común en todos los idiomas. Estamos en situación de trabajar con las variables y que “x” represente a una incógnita.
El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones.
Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.
El triángulo de Tartaglia da lugar al desarrollo del binomio de Newton, posteriormente.
En 1489 en Alemania se inventaron los signos + y – para la suma y la resta.
El descubrimiento de América en 1492 crea la necesidad de avances técnicos y aplicaciones trigonométricas a la navegación, formación de equipos que hagan mapas y surge la necesidad de los estudios matemáticos. Cuando esto se promociona, siempre se avanza.
Quienes hicieron contribuciones a la geometría en el siglo XVI fueron, principalmente, Johannes Werner (1468-1522) y Albrecht Dürer (1471-1528) en Alemania y en Italia, Leonardo da Vinci (1452-1519), Francesco Maurolico (1494-1575) y Pacioli.
Leonardo da Vinci en su Trattato della pittura inicia con la advertencia: “quien no sea un matemático no lea mi trabajo”.
Se publica un tratado sobre cónicas.
Se calculan ecuaciones de parábolas e hipérbolas, pero aun no se consideran muy importantes.
También contribuyeron los geógrafos, ya que la navegación está estrechamente relacionada con la representación geográfica y, con la empresa de Magallanes y Elcano, se dio una carta de autenticidad al concepto del Mapa Mundi representado como una esfera.
Las proyecciones y las simetrías
“La simetría es una idea por medio de la cual, el hombre de todas las épocas ha tratado de comprender y crear la belleza, el orden y la perfección” (Weyl).
La proyección gráfica es una técnica de dibujo empleada para representar un objeto en una superficie. La figura se obtiene utilizando líneas auxiliares proyectantes y partiendo de un punto denominado foco, reflejan dicho objeto en un plano, como una sombra.
Los elementos principales de la proyección
El punto de vista o foco de proyección.
El punto que se desea proyectar.
El punto proyectado.
La línea proyectante.
El plano sobre el que se proyecta, que recibe diferentes denominaciones como plano de proyección, plano de cuadro o plano imagen.
“DIVINA PROPORCIÓN”: nombre dado por Luca Paccioli a la relación proporcional establecida en la sección áurea y presente en algunas figuras geométricas como el pentágono y el decágono regulares”. NÚMERO AÚREO.
Leonardo da vinci conectó también el arte con las matemáticas. En sus notas se encuentran cuadraturas, construcciones de polígonos regulares y razonamientos sobre centros de gravedad y sobre curvas de doble curvatura.
Uso de la perspectiva en la representación plana de objetos tridimensionales.
La teoría de la perspectiva. Es representar los objetos en la forma y la disposición con la que aparecen a la vista, como lo visualizaría el espectador.
TIPOS DE PERSPECTIVAS
Perspectiva lineal.
las líneas paralelas que van de más cerca a más lejos, se junten en un punto de fuga, lo que crea una ilusión de profundidad. Puede ser:
Frontal, un único punto de fuga, de tal manera que todas las líneas paralelas se junten en él.
Oblicua, con dos puntos de fuga y todas las líneas paralelas se junten en uno y las perpendiculares a estas en otro.
Se dibuja la arista más cercana al observador, y se sitúan los puntos de fuga sobre una misma línea horizontal.
Se trazan líneas desde los puntos de fuga hasta los extremos de la arista dibujada, y se traza el resto de líneas verticales en función de la profundidad del objeto.
Desde los puntos de corte de las líneas verticales con las líneas que llevan hasta los puntos de fuga, se trazan las líneas hasta los dos puntos de fuga y se completa el dibujo destacando las aristas visibles.
Perspectiva aérea. Alonso cano
Perspectiva aérea.
Perfecciona la perspectiva lineal, representando la atmósfera que envuelve a los objetos, esfumando las líneas convergentes, eliminando los límites de forma y color, lo que da una impresión muy real de la distancia.
Como le ocurre al ojo humano, las cosas, cuanto más lejanas, más borrosa.se intenta representar la atmósfera, el aire que envuelve a los objetos, degradando su color a medida que se van alejando del espectador, aportando así no sólo una sensación de profundidad.
Perspectiva paralela
Perspectiva paralela
La que consta de un solo punto de fuga que además deberá estar justo frente a nosotros o desviado solo ligeramente; lo más simple de representar en perspectiva paralela es, por ejemplo, un cubo.
Perspectiva invertida
El punto de fuga está situado delante del cuadro.
Perspectiva de importancia
La perspectiva de importancia es un método de representación que permite resaltar a un personaje con relación a otros.
Dürer tuvo más interés en la geometría: generó epicicloides
Perspectiva de importanciaPerspectiva de importancia
Epicicloides: es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz, que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento.
Cuadro mágicoCuadro mágico
En 1514, aparece un cuadrado mágico y se sabe que Paciolo dejó el manuscrito De viribus quantitatis en el que se aprecia el interés en tales cuadrados, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado. Los cuatro números centrales también suman 34. Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno que suman 34.
Las transformaciones geométricas y las proyecciones resultaron esenciales para los cartógrafos, debido a las exploraciones geográficas.
Claudio Ptolomeo de Alejandría en el año 85, ya crea una Geografía en ocho libros, que llegó a ser una Biblia para los geógrafos. En ella introdujo el sistema de latitudes y longitudes como se utiliza actualmente y describió métodos de proyección cartográfica.
Ptolomeo describió dos tipos de proyección de mapas
Proyección ortográfica
Proyección estereográfica, en la cual los puntos en la esfera se proyectan por líneas desde un polo sobre un plano (en el caso de Ptolomeo desde el polo sur al plano del ecuador).
En el mapa realizado por Ptolomeo se sintetizaron los conocimientos de su tiempo y sentó las bases de la concepción del mundo hasta finales de la Edad Media.
Copérnico (1473-1543), buscó y propuso una solución nueva para el viejo problema del aparente movimiento errático de los planetas, que era explicado de acuerdo con la concepción aristotélico ptolemaica de una manera extraordinariamente complicada.
La concepción antigua estaba basada en distintos supuestos:
La tierra está inmóvil y ocupa el centro del universo.
El movimiento de los astros es uniforme y su trayectoria circular.
La materia de los astros es perfecta e incorruptible: el éter.
Los astros están incrustados en esferas cristalinas que también son de éter.
El límite último del universo está constituido por la esfera de las estrellas fijas.
Kepler (1571-1630) fue discípulo de Brahe, y heredó datos y observaciones astronómicas.
Con estos datos, se dedicó a descubrir las leyes matemáticas simples que resolvieran el complejo problema de los planetas.
Los planetas describen alrededor del sol órbitas elípticas, con el sol en uno de focos de la elipse.
El movimiento de los planetas tiene una velocidad variable en forma proporcional a su distancia al sol, más rápido cuanto más cerca está de éste, barriendo áreas iguales en tiempos iguales.
Los cuadrados de los periodos de los planetas son proporcionales a los cubos de sus respectivas distancias medias al sol.
Galileo (1564-1642) demostró el movimiento uniforme, el uniformemente acelerado y la trayectoria de los proyectiles. Para ello desarrolló un nuevo método científico.
Rechazo de la autoridad de los antiguos, especialmente de Aristóteles.
Simplicidad de la naturaleza.
La existencia de un orden racional y necesario que podía ser formulado en términos matemáticos.
A partir de ahora la Física sólo estudiará aquello que puede ser cuantificado, es decir, aquello que se puede expresar mediante fórmulas matemáticas.
Fenomenismo. Con Galileo se acaba definitivamente con el estudio de las esencias (aristotelismo) y se considera que la ciencia debe ocuparse sólo de la descripción y comprensión matemática de los fenómenos.
Evolución de las matemáticas en Roma y su influencia.
Los romanos eran un pueblo práctico, poco dado a las innovaciones científicas.
La mayor utilidad que sacaron de las matemáticas fue la agrimensura que utilizaba el álgebra y la geometría para medir terrenos, aplicar fronteras a las ciudades, hacer puentes …
Los agrimensores
Los agrimensores utilizaban procedimientos ya conocidos antes como el uso de triángulos congruentes y otro tipos de procedimientos utilizados por los griegos.
Una de las causas del poco uso que tuvieron los romanos de las matemáticas fue que para los romanos, los astrólogos recibían el nombre de mathematicii y la astrología era condenada en tiempos de los romanos.
NUMERACIÓN ROMANA
Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen.
Si un símbolo de tipo I está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV=4, IX=9.
Los símbolos de tipo V siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo I.
No se permite la repetición de una misma letra de tipo V, su duplicado es una letra de tipo X.
Si un símbolo de tipo I aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor.
Si un símbolo de tipo I que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta.
Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo I sobre el inmediato mayor de tipo I o de tipo V. Ejemplos:
El símbolo I sólo puede restar a V y a X.
El símbolo X sólo resta a L y a C.
El símbolo C sólo resta a D y a M.
Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.
Los números romanos siguen vigentes en las fechas de los monumentos históricos y en distintos epígrafes que queremos numerar.
En relojes y otros instrumentos.
Las matemáticas en Roma y la herejía
ACUEDUCTO DE SEGOVIA
Los romanos diferenciaban entre geometría y matemáticas, la primera se enseñaba en las escuelas, pero el “arte de las matemáticas”, es decir la astrología, fue condenado ya que se consideraría una herejía.
Durante la Edad Media también existía esa diferenciación un claro ejemplo son las palabras de San Agustín:
”Los buenos cristianos deben cuidarse de los matemáticos y de todos los que acostumbran hacer profecías, aún cuando estas profecías se cumplan, pues existe el peligro de que los matemáticos hayan pactado con el diablo para obnubilar el espíritu y hundir a los hombres en el infierno” (De Genesi ad litteram, 2, XVII, 37).
PROCLAMA DE OMAR
Durante varias épocas no solo no se innovó en materia científica, sino que no se hizo nada por proteger la herencia científica, y por unas causas u otras, muchos libros fueron destruidos, la gran biblioteca de Alejandría fue quemada por los romanos al intentar destruir la flota egipcia.
Pero el final del imperio romano no supuso un avance en términos científicos sino más bien un retroceso ya que tanto los cristianos como los musulmanes se dedicaron a destruir todo tipo de libros al considerarlos “paganos”.
Un ejemplo de esto fue que en el año 640 tras la toma de Egipto por rebeldes mahometanos, los libros fueron destruidos basándose en la proclama dada por Omar, el conquistador árabe:
“Los libros, o bien contienen lo que ya está en el Corán, en cuyo caso no tenemos que leerlo, o bien contienen lo contrario de lo que está en el Corán, en cuyo caso no debemos leerlo”.
La historia de las matemáticas en Egipto que llega a la construcción de las pirámides.
La civilización egipcia sufría periódicas inundaciones del Nilo, que borraban los lindes de separación de la tierra y era preciso reconstruir sus medidas. 2500 años antes de Cristo lograron trazar perpendiculares, con segmentos que forman un ángulo recto (90 grados), por aquella época el transportador de ángulos no existía.
La palabra Geometría en Egipto alude a “medir la tierra”.
La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.
Los egipcios dominaban:
Los triángulos, medidos con nudos equidistantes.
Consiguieron un ángulo recto y por tanto triángulos rectángulos
Diferenciaban hipotenusa de catetos.
Hallaban áreas de cuadrados, rectángulos, rombos y trapecio.
Daban al área del círculo un valor aproximado, porque para Π suponían 3,16.
Conocían el cilindro, el tronco de cono, el tronco de pirámide y las pirámides.
Este papiro comienza con la frase: “cálculo exacto para entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.
Este papiro nos da información sobre cuestiones
Aritméticas básicas.
Fracciones.
Progresiones.
Repartos proporcionales.
Reglas de tres.
Ecuaciones lineales.
Trigonometría básica.
Problemas de repartos.
Problemas con el área de un triángulo isósceles.
Área de un trapecio isósceles.
Área de una circunferencia, con una forma similar a la actual, pero con π=3+1/6.
El volumen de una pirámide de base cuadrada. En otros papiros se encuentra
El volumen de un tronco de cono.
Una buena aproximación del volumen de una esfera.
NUMERACIÓN EGÍPCIA
Con esta numeración llegaron a operar con las fracciones.
Medir unidades de peso y volumen.
LAS PIRÁMIDES
Una pirámide es un poliedro limitado por una base poligonal y por caras laterales que son triángulos isósceles coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide es el vértice principal de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.
TIPOS DE PIRÁMIDES EGÍPCIAS
ESCALONADA
Son las más antiguas y están formadas por la superposición de varios escalones decrecientes.
La primera pirámide escalonada fue la de Dyeser realizada como un proyecto del arquitecto Imhotep (quien sería posteriormente divinizado), como una superposición de antiguas mastabas.
En esta pirámide la capilla se sitúa por debajo del suelo y a ella se accede a través de un pozo subterráneo.
El eje principal está orientado al Norte.
Es la única que se conoce acabada.
PERFECTA
Se comenzó a construir a principios de la IV dinastía y representa la evolución arquitectónica de la pirámide escalonada.
El recinto lo forma, además de la pirámide, el templo mortuorio y un muro.
En ocasiones el recinto cuenta con otra pirámide subsidiaria.
El eje mayor del recinto se orientaba al este.
La primera pirámide verdadera corresponde al faraón Snofru de la IV dinastía que además construyó la única romboidal conocida y terminó la de su padre Huni.
ROMBOIDAL
Se trata de una pirámide parecida a la perfecta, pero con un cambio de inclinación a media altura, de la que la única conocida es una de las del faraón Snofru de la IV dinastía.
MONUMENTOS EMBLEMÁTICOS
Las tres grandes pirámides de Guiza. La gran pirámide de Guiza, considerada una de las siete maravillas del mundo antiguo, además de ser la única que se conserva.
Las tumbas o cenotafios de los faraones Keops, Kefrén y Micerino.
LA MASTABA
CONSTRUCCIÓN ANTERIOR A LAS PIRÁMIDES
Es una construcción anterior a la pirámide, en forma de tronco de pirámide con base rectangular.
Era la sepultura de los soberanos del período arcaico egipcio.
Las razones del paso de las mastabas a las pirámides no se conocen bien, pero se menciona generalmente el deseo de alcanzar alturas cada vez más significativas para manifestar la importancia y el poder del faraón difunto.
La mastaba es una tumba funeraria del antiguo Egipto.
Algunas de estas tumbas alcanzaron una altura cercana a los 20m, pero la mayoría no superaba los 12m de altura.
CONSTRUCIÓN DE LAS PIRÁMIDES
La pirámide constituye la parte fundamental del conjunto arquitectónico destinado al culto al faraón.
Es la máxima expresión de la arquitectura del Reino Antiguo.
A pesar de que la función principal para la que fueron construidas era como monumento funerario, muchas no fueron nunca empleadas como tumbas.
La pirámide(1)
Un recinto amurallado con camino de ronda en la parte superior y resaltos defensivos (2)
E el interior del recinto se situaba el templo mortuorio (4).
Pirámides secundarias (3) que se colocaban en el ángulo izquierdo de la entrada.
El acceso se realizaba por una rampa (5) que comunicaba con el templo del valle o templo bajo.
Las pirámides muestran el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para construirlas tales como:
Matemáticas en Egipto
«Ingenios» de madera
Trineos usando la rueda en forma de rodillos de madera.
Rampas.
Materiales:
Piedra escuadrada.
Piedra sin tallar.
Adobe.
Apilamiento de bloques.
Muros resistentes conformando espacios rellenos de cascotes.
Procedimiento:
Aplanaban el terreno rocoso.
Excavar canales para inundarlos de agua y así poder marcar líneas de nivel con las que se preparaba una superficie horizontal.
Rellenaban los surcos.
Excavar la cámara subterránea y comenzaba la edificación.
Los bloques de piedra eran cortados en canteras próximas al lugar de construcción.
Se transportaban otros de las canteras del sur del país con ayuda de gigantescas barcazas.
Los bloques se colocaban a continuación sobre trineos y se arrastraban hasta su emplazamiento definitivo.
EL NÚMERO «PI» EN LAS PIRÁMIDES
π es el valor que se obtiene al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro. Los egipcios ya lo habían descubierto pero solo lo aproximaban como π=3,16. Cogemos por ejemplo una rueda de un metro de diámetro, la hacemos girar hasta que toda su superficie haya tocado el suelo, y no es ningún secreto que el recorrido que habrá hecho la rueda estará alrededor de los 3,14 metros.
La Gran Pirámide de Keops tiene una base de 230,38m de longitud y una altura de 146,6m. Si tomamos dos veces la longitud de la base y la dividimos por su altura, obtenemos el valor de “3.14297…
Los conocimientos matemáticos de los egipcios son la base de la época Greco-Romana.
MATEMÁTICAS EN EL ARTE DECORATIVO
Las esculturas se caracterizaban principalmente por el hieratismo, la rigidez, las formas cúbicas y la frontalidad
También es posible que en los constructores y decoradores del antiguo Egipto usasen algún tipo de teoría matemática de las proporciones. Se sabe que en torno al 600 a. C. investigadores egipcios midieron los relieves en Sakkara, en la tumba del faraón Zhoser, que fueron hechos hacia el 2800 a. C. Sobre esta base, construyeron un sistema de proporciones que más tarde fue ampliamente usado. Tal vez es este sistema lo que ahora podemos ver en muchos relieves egipcios como unas finas líneas sin un significado aparente.
En la Figura siguiente podemos ver un ejemplo típico de Lepsius (1849): Denkmaler aus – Agypten und – Athiopien.
El canon de los 18 puños
Dentro de la escultura y la pintura, eran muy importantes las proporciones. Estudiaremos en próximos capítulos distintas proporciones que están en las más importantes obras.
El Canon. Proviene del griego de la palabra Kanon que significa “regla” o “modelo”. En Bellas Artes el Canon es el conjunto de proporciones matemáticas que tiene una obra.
En el siglo XIX una expedición logró descubrir el “canon” que utilizaban los egipcios en sus obras y que es anterior al usado por los griegos.
Los conocimientos matemáticos de los egipcios son la base de la época Greco-Romana.
El siglo XX destaca por sus avances en todos los campos de la industria y la influencia de las matemáticas de los siglo anteriores en este desarrollo es básica.
Destacamos algunas:
La expansión de la electricidad.
El desarrollo del automóvil. El primer motor en cadena es de la marca Ford.
El avión en 1903.
La red de agua corriente.
La electrónica. En 1948 se presenta el Transistor.
La radio y la televisión.
Mecanización de la agricultura.
Los ordenadores.
El teléfono y la red telefónica.
El aire acondicionado y la refrigeración
En el siglo XX, las matemáticas crecieron a un ritmo exponencial.
En 1900 en un discurso ante el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert estableció una lista de 23 problemas sin resolver en matemáticas. Estos problemas, que abarcan muchas áreas de las matemáticas, fueron el centro de atención de muchos matemáticos durante gran parte del siglo XX.
Hoy en día, 10 de ellos se han resuelto, 7 están parcialmente resueltos, y 2 aún están abiertos a que alguien los pueda resolver. Los 4 restantes estan vagamente formulados para ser considerados como resueltos o no.
Lebesgue (1902) define los conceptos de medida, hasta este momento solo se intuían.
En el primer tercio del siglo las Matemáticas prestaron una gran ayuda a la Física y a la Economía.
Von Neumann
En 1928 el teorema del mínimax de Von Neumann, supuso unión entre Economía y Matemáticas.
En 1930 un grupo de matemáticos franceses, conocidos con el nombre de Bourbakistas, intentaron fundamentar la matemática sobre estructuras. Antes de la aparición de las estructuras, de la teoría de conjuntos se deducía la teoría de los números naturales, luego se obtenían los números enteros y, finalmente, se construían los números racionales y luego los números reales con sus operaciones. Estas estructuras dependen de las propiedades que tienen estos conjuntos de números, con las operaciones de suma, producto, producto escalar….
Estas estructuras están ampliamente desarrolladas en el apartado de TIPOS DE NÚMEROS.
Al ampliar los conjuntos van teniendo más propiedades, por ejemplo los naturales no tienen opuesto ni inverso, los enteros tienen opuesto y no inverso, así hasta llegar a los reales que tienen todas las propiedades.
Los bourbakistas definen los números reales y sus operaciones por la estructura algebraica de cuerpo, las propiedades de orden de los números reales están en una estructura de orden, así los reales son un cuerpo ordenado, compatible con su estructura algebraica y las propiedades de los números reales relacionadas con la idea de proximidad están en una estructura topológica.
Albert Einstein (1879-1955) uno de los nombres más importantes de este siglo, por su aportación a la teoría de la relatividad (1915). Demuestra su teoría con tres coordenadas reales, siendo el tiempo la cuarta coordenada.
La teoría de la relatividad tuvo enorme impacto en muchas ciencias adyacentes a la física, como la astronomía, las matemáticas y el arte.
Influencia de la teoría de la relatividad en el arte
Dalí plasma el espacio-tiempo relativista cuyas explicaciones escuchó en la visita que el físico hizo a la
Residencia de Estudiantes en 1923. Aquella semilla científica germinará en su obra “La persistencia de la memoria”, donde Dalí pinta la deformación del tiempo, la cuarta dimensión de Einstein, representada con diversos relojes blandos y maleables que consideró premonitorios de la nueva física que se avecinaba.
La dilatación del tiempo y espacio introducida por las ecuaciones de H. Lorentz, la expansión de universo observada por E. Hubble, la introducción de nuevos tipos de infinitos consecuencia de la teoría de los conjuntos por G. Cantor, todos contribuyeron a los nuevos horizontes y fronteras del pensamiento humano.
En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el «teorema de los cuatro colores.
En 1995 Wiles demostró el último teorem de Fermat.
Paul Cohen y Kurt Gödel demostraron que la hipótesis de lo continuo es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos.
La «clasificacion de los grupos finitos simples», cuya prueba entre 1955 y 1983 requirió de 500 artículos de revistas de unos 100 autores.
Nuevas áreas de la matemática como la lógica matemática, la topología, la teoría de la complejidad y la teoría de juegos y cambiaron el tipo de preguntas que podrían ser respondidas por los métodos matemáticos.
Estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock.
Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales.
Las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton.
La cuarta dimensión no es la última, podemos hablar de “n” dimensiones y todas tienen las mismas estructuras.
Espacio Vectorial del matemático y físico estadounidense JosiahWillard Gibbs
Los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann.
La teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange.
Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.
El método simplex de Dantzing de 1947, que podemos situarlo en el origen de la teoría de la optimización, con el estudio de sistemas de inecuaciones y su aplicación a la economía.
El análisis de Shannon del juego del ajedrez de 1950, que abre un capítulo en la inteligencia artificial y la robótica.
El teorema de existencia de equilibrio de Arrow-Debreu de 1954, que originó otro capítulo matemático en Economía.
Durante la Segunda Guerra Mundial se tuvieron que resolver diversos problemas con criterio de optimización, lo que exigió la construcción de ordenadores y el desarrollo de la técnica de programación lineal, donde las restricciones vienen dadas por desigualdades lineales y el criterio de optimización se expresa por una función lineal.
El sueño de la inteligencia artificial fue explícitamente formulado por Herbert Simon en los cincuenta, pensando que en diez años se tendrían programas capaces de derrotar a campeones mundiales de ajedrez, de demostrar nuevos teoremas y de sugerir nuevas teorías en Sicología. Sólo en el juego del ajedrez se ha cumplido la predicción de Simon.
El primer juego de ajedrez elaborado en términos computacionales aparece en un famoso artículo de Claude Shannon de 1950.
Así sucede con la clasificación de los Grupos Finitos comenzada por Gorenstein en 1972 y con el problema de los cuatro colores, resuelto por Appel y Haken en 1976.
Dos descubrimientos de este período:
Los Fractales.
El origen de los fractales se sitúa en 1906, cuando Helge von Koch construyó una región plana de área finita cuya frontera puede tener longitud infinita.
Los invariantes de Jones en teoría de nudo.
Von Koch dividió cada lado de un triángulo equilátero en tres partes iguales y sustituyó el tercio central de cada lado por un nuevo triángulo equilátero; la repetición sucesiva de este proceso originó una figura parecida a un copo de nieve, que tiene área finita con frontera de longitud infinita, pues en cada etapa se multiplica su longitud por 4/3. Por el factor 4/3 se dice esta figura tiene dimensión 1,2618595, ya que 31,2618595 4. Esta definición de dimensión está relacionada con la construcción de la figura y la introdujo Felix Hausdorff en 1918.
La Matemática seguirá siendo en el siglo XXI el idioma de la Ciencia y aumentará su participación en la comprensión de nuestro mundo, no siendo previsible a donde puede llegar el conocimiento matemático y sus aplicaciones. Probablemente la razón entre los conocimientos matemáticos dentro de cien años y los actuales superará a la proporción entre la potencia de los actuales ordenadores y los ordenadores de mediados del siglo XX.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) el más ilustre matemático de todos los tiempos, en mi modesta opinión. Su aportación al álgebra es inmensa, y con justicia se le concede el título de “Príncipe de los matemáticos” que aparece en su epitafio.
Aportaciones de Gauss:
A los 20 años presenta su tesis doctoral que consistió en demostrar que toda función f(x)=0 tiene al menos una raíz real compleja y toda función polinómica de grado “n” tiene “n” raíces reales complejas. Este teorema se conoce como el “teorema fundamental del Álgebra”.
Los complejos son la base de las estructuras fractales que se desarrollan en el siglo XX. Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo, estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.
Hizo estudios de matrices de vital importancia en ciencias actuales, económicas e ingenieras.
Las matrices son estructuras ordenadas en filas y columnas, entre otras cosas para ordenar.
Los productos de un supermercado aparecen ordenados en filas y columnas.
Los datos de la bolsa también son matrices.
Señalamos como aplicación original de las matrices el sistema Braille de los ciegos que se puede encontrar en los actuales ascensores.
También para las letras del abecedario.
Todas las matemáticas de esta época marcan el inicio del Álgebra moderna.
También destacó en geometría con el estudio de las superficies curvas. Elíptica (se contrae). Hiperbólica (se espande).
Hoy podemos ver la forma hiperbólica en las chimeneas a algunas fábricas y en las centrales nucleares.
Desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.
En 1823 publicó Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, dedicada a la distribución normal. Básica en estadística. La representación gráfica de la función de densidad de dicha distribución es la denominada campana de Gauss. Tanto esta curva como su distribución de probabilidad son en la actualidad enormemente útiles para muchísimos estudios relacionados con distribuciones de datos, en el contraste de hipótesis para valorar calidades de productos y su facilidad para ajustarse como modelo a situaciones muy diversas. La función de densidad normal es una herramienta fundamental en muchos campos de investigación.Algunos otros descubrimientos y resultados que han terminado llevando el nombre de Gauss son:
El teorema de Gauss-Bonnet
El método de Gauss para triangular una matriz, imprescindible para resolver sistemas lineales de muchas variables (y el método de eliminación de Gauss-Jordan).
El método de Gauss-Seidel.
El teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss
Además destacan en el siglo XIX:
Abel estudia las estructuras de los conjuntos.
Cantor nos plantea si hay tantos números naturales como enteros. Es más ¿todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos?. El demuestra que no, que los reales son mayores y justifica que dentro de los infinitos hay unos más grandes que otros. La teoría de conjuntos es la base de ciencias matemáticas actuales tales como Topología y Análisis funcional.
Peano (1858-1932) es el inventor de los signos que representan las operaciones de conjuntos.
⊂ Contenido
⊄ No contenido
∈ Pertenece
∉ No pertenece
∪ Unión
∩ Intersección
Cauchy consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite.
Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales.
Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Euler y Lagrange definen el significado de la palabra función.
Supongamos un cuadrado de lado “x”, Una función es por ejemplo representar el área a partir de “x”. f(x)= x2.
Fourier estudia las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Estas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos.
La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como «enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto», forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas (no rectilíneas) fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.
Los avances de este siglo influyen en las construcciones navales y esto se ve reflejado en la pintura.
Empiezan también los primeros esbozos de la aeronáutica.
A comienzos del siglo XIX, el norteamericano Robert Fulton le ofrece a Napoleón Bonaparte los planos de su Nautilus.
Los conocimientos matemáticos también en esta época influyen en el arte y la pintura, Aparecen las proyecciones
Caillebotte (1848-1894): Los lijadores del parquet.
Apreciamos como se conocían las proyecciones, tanto en líneas como en la luz, los distintos planos, la profundidad, las simetrías en el balcón.
Pere Borrell del caso (1835-1910) “escapando de la crítica”
Observamos la perspectiva y la sensación de movimiento.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai.
Las geometrías no euclídeas (no rectilíneas) fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.
Se ve reflejada en la arquitectura.
Wfm Stata Center – Frank Ghery
Los avances de este siglo influyen en las construcciones navales y esto se ve reflejado en la pintura.
Primeros avances náuticos
A comienzos del siglo XIX, el norteamericano Robert Fulton le ofrece a Napoleón Bonaparte los planos de su Nautilus.
El siglo XVIII es llamado Siglo de las Luces, porque en él surgió el movimiento intelectual conocido como ILUSTRACIÓN.
Se inicia la REVOLUCIÓN INDUSTRIAL y el despegue económico de Europa.
Hechos más relevantes:
Revolución industrial con las primeras escuelas de ingeniería.
Se obtiene por primera vez hierro fundido.
Se obtiene la primera vacuna contra la viruela.
Bernouille desarrolla la mecanica de fluídos.
Primeras experiencias eléctricas.
Se comiezan las teorías sobre el origen de la especie.
El desarrollo de mejores telescopios.
Durante el siglo XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, crear campos nuevos dentro de las matemáticas.
Se trabajó mucho para enriquecer el análisis matemático con numerosos algoritmos y descubrimientos interesantes, soluciones explícitas de problemas de geometría y de mecánica. También relaciones explícitas entre las funciones exponenciales y logarítmicas.
Joseph Louis Lagrange, francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. También hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Lagrange era completamente algebraico y ha basado sus estudios en el concepto de las series infinitas.
El francés Gaspard Monge la geometría descriptiva en 1795.
Euler
El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, (1707-1783) quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo.
Destacamos:
Demostró que el baricentro, ortocentro y circuncentro están alineados. Recta de Euler.
Definió las funciones logarítmicas y exponenciales.
Desarrolló el cálculo de números complejos.
Introdujo los símbolos «e», «f(x)», el sumatoria «Σ» y la letra pi «π» para dicho número (en honor a Pitágoras).
Clasificó las funciones y formuló el criterio para determinar sus propiedades.
Elaboró e introdujo la integración doble.
Descubrió el teorema de la composición de integrales elípticas.
Dedujo la ecuación diferencial de la línea geodésica sobre una superficie.
Introdujo la ecuación de la expansión volumétrica de los líquidos.
Fue el padre de la Teoría de Gráficas.
Amplió y perfeccionó la geometría plana y de sólidos.
Fue el primero en considerar el seno y el coseno como funciones.
Introdujo los factores integrantes en las ecuaciones diferenciales.
Generalizó la congruencia de Fermat, introduciendo una expresión que Gauss denominó «indicador».
Se adelantó a Legendre en el descubrimiento de la «ley de reciprocidad» de los restos cuadráticos.
Añadió el «cuadrado latino» a los cuadrados mágicos (“padre” de los famosos “sudokus”).
Ideó métodos para el desarrollo en serie de raíces.
Inició el estudio de las funciones simétricas de las raíces.
En álgebra, ideó métodos de eliminación y descomposición en fracciones simples.
A él se debe la utilización de letras minúsculas para designar los lados de un triángulo y de las mayúsculas para los vértices.
Bayes (1702–1761) estudió el problema del cálculo de la probabilidad de los sucesos a través de los efectos observados. El teorema de Bayes se refiere a la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro suceso.
Brook Taylor, (1685–1731) matemático inglés. En su Methodus Incrementorum Directa et Inversa en 1715 desarrolló el cálculo de las diferencias finitas. Entre las distintas aplicaciones, se usó para determinar la forma del movimiento de una cuerda vibrante. El mismo trabajo contenía la famosa fórmula conocida como «teorema de Taylor» que aproxima cualquier función por otra de forma polinómica y cuya importancia sólo se reconoció en 1772, cuando Lagrange se dio cuenta de su valor y lo definió como «el diferencial principal del fundamento del cálculo», llegando a calcular el error entre las funciones polinómicas y la que se aproximan.
Colin Maclaurin, (1698–1746) matemático escocés, en 1742 publicó Treatise of fluxions, donde introduce la llamada «serie de Maclaurin», que permite evaluar funciones.
Johann Lambert, (1728–1777) matemático alemán, demostró que el número π es irracional. También hizo aportes al desarrollo de la geometría hiperbólica y de la astronomía, desarrollando un método para calcular las órbitas de los cometas y el teorema de Lambert.
Pierre Laplace (1749–1827 ) hizo muchas aportaciones en la astronomía, destacando:
La estabilidad del sistema solar.
El movimiento de los centros de gravedad de los cuerpos del sistema solar mediante ecuaciones diferenciales y sus soluciones.
Estudió cómo los planetas eran alterados por sus satélites.
Descubrió la inmutabilidad de los principales movimientos de los planetas.
Probó que las excentricidades y las inclinaciones de las órbitas planetarias permanecían constantes y se autocorregían.
En probabildad:
Dió una definición de probabilidad y la llama posteriormente regla de Bayes. Basada en los estudios de este matemático.
Encontró métodos para calcular la probabilidad de sucesos compuestos conocidas las probabilidades de sus componentes simples.
Aplicó la probabilidad a la mortalidad, la esperanza de vida, la duración de los matrimonios, a los sucesos legales, a los errores en las observaciones, la determinación de las masas de Júpiter, Saturno y Urano, métodos de triangulación y problemas de geodesia.
Otras aportaciones:
Ideó la que se conoce como «ecuación de Laplace» estudiando la atracción gravitatoria de un esferoide sobre un objeto externo.
La «transformada de Laplace», muy útil en la teoría de ecuaciones diferenciales.
Cramer
Encontró métodos de resolución de ecuaciones, de desarrollo de determinantes y de aproximación de integrales definidas.
Introduce el uso de la función potencial en análisis matemático, así como las funciones llamadas «armónicos esféricos» que ya habían sido estudiadas por Legendre.
Cramer, (1704–1752), matemático francés que profundizó el estudio de los determnantes y la resolución de sistemas lineales. La » regla de Cramer» es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal en forma de determinantes. Publicó la regla en su «Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques» de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748.
» y «d» de la integral y la diferencial.
Tanto esta curva como su distribución de probabilidad son en la actualidad enormemente útiles para muchísimos estudios relacionados con distribuciones de datos, en el contraste de hipótesis para valorar calidades de productos y su facilidad para ajustarse como modelo a situaciones muy diversas. La función de densidad normal es una herramienta fundamental en muchos campos de investigación.Algunos otros descubrimientos y resultados que han terminado llevando el nombre de Gauss son:
MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO 
