VARIABLE CONTINUA CON INTERVALOS-FUNCIÓN DE DENSIDAD

EN LA VARIABLE CONTINUA TENEMOS DOS CASOS

1. QUE EL NÚMERO DE DATOS SE DISTRIBUYA EN UNA TABLA Y LA VARIABLE RECORRE UN INTERVALO.
2. QUE LA VARIABLE SE DEFINA POR UNA FUNCIÓN LLAMADA «FUNCIÓN DE DENSIDAD»

Un ejemplo del primer caso es que un número de notas, que son con decimales, las puedo agrupo en intervalos como indica la tabla siguiente.   Todos los cálculos se hacen como en la variable discreta, pero a partir del cálculo de la marca de clase.

• La marca de clase es el punto medio del intervalo. La otra diferencia es el diagrama.
• Las barras son tan anchas como el intervalo y van pegadas. Recibe el nombre de histograma.
• La línea poligonal se hace uniendo los extremos centrales de las barras.
• Los demás cálculos de media, varianza y desviación típica e hacen de la misma forma que en la variable discreta.

RELACIÓN ENTRE LOS DOS CASOS

Lo más importante es observar que cuando me dan una función el sumatorio se transforma en integral.

 

 

 

 

LA DESVIACIÓN MEDIA NO es un parámetro muy importante. Es la media aritmética de la diferencia entre cada variable y la media aritmética, en valor absoluto.

Para calcular los parámetros anteriores, podemos observar el ejemplo siguiente.

Las tallas de 20 recién nacidos corresponde a  la variable x

HISTOGRAMA Y LÍNEA POLIGONAL

 

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Los datos recorren un intervalo de números reales y sus datos no se pueden poner en una tabla, se representan por una gráfica llamada “función de densidad”. Una función es de densidad si cumple dos condiciones.

• Tiene que ser positiva, es decir su gráfica encima del eje de abscisas.
• Sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1: 0≤f(x)≤1
• El área encerrada bajo la curva es igual a la unidad:

EJEMPLO:

El tiempo de espera de un conductor ante un semáforo, está dado por la función f(x)=n/x  y  «x» se encuentra entre 1 y 5. Halla n para que sea un experimento, la media y la desviación típica.

TRUCOS

• Primero comprobamos que la función es de densidad, para ello tenemos que hacer la integral, igualar el resultado a la unidad y despejar la «n»

• Aplicar las fórmulas de integración correspondientes.

  

• DEBEMOS OBSERVAR QUE SI ESTE APARTADO NO SE CUMPLE, NO REPRESENTA A UN EXPERIMENTO ESTADÍSTICO, PORQUE EL ÁREA QUE HAY DEBAJO DE LA CURVA, EN EL INTERVALO QUE INDICA EL PROBLEMA, ES UNA UNIDAD, IGUAL QUE LA FRECUENCIA RELATIVA EN LA VARIABLE DISCRETA.

 

• UNA VEZ CALCULADA LA «n» , PODEMOS CALCULAR LA MEDIA Y  LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA.

Hallar a para que sea un experimento, hallar la media y la desviación típica.

Primero calculamos «a» para  que sea una función de densidad.

Calculamos la media y la varianza.

EJERCICIOS

• El efecto de 1 virus sobre una población dura normalmente entre 1 y 7 días siendo inversamente proporcional al paso del tiempo.

a-Hallar «a ´´ para que esto sea un experimento.

 b)-Hallar la media, desviación y la probabilidad de que la enfermedad dure más de 6 días.

• Un enfermo coge la gripe y al cabo de un día de estar enfermo le ponen un medicamento y el efecto que produce en el enfermo sigue una gráfica f (x) =a/ ,    siendo x el número de días que lo toma, que va de 1 a7,  x ∈ [1,7].

Hallar la media y la desviación típica de este experimento.

Hallar la probabilidad de que está enfermo más de 6 días.

FUNCIÓN DE VARIABLE NORMAL

• La distribución normal fue introducida por primera vez por Abraham de Moivre en 1733 como límite de una distribución binomial.
• Posteriormente, Carl Friedrich Gauss, en su estudio de los errores de medida de datos de observaciones astronómicas, indicó la expresión de la función de densidad de la distribución normal.
• Por ello esta distribución se conoce también con el nombre de “curva o campana de Gauss”.
• Veremos como lo binomial se pasa a normal, cuando «n» es muy grande y a medida que es mayor el error que se comete al cambiar a normal es menor.
• En la vida real, muchos experimentos tienen una gráfica en forma de campana, se consideran “NORMALES”.
• Las áreas que encierran sus gráficas debajo de la curva se relacionan con la probabilidad, pero estas integrales no es necesario hacerlas, porque sus áreas están recogidas en la tabla normal de Gauss.
• La función de densidad recibe el nombre de curva normal o campana de Gauss.

 

DADA SU IMPORTANCIA, LE DEDICAMOS UN APARTADO ESPECIAL.

Prof: F. López-Depósito Legal: M-007074/2009

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