VECTORES EN EL ESPACIO

DEFINICIÓN DE ESPACIO

Es el conjunto de ternas de números reales.

DEFINICIÓN DE VECTOR

Un vector es un segmento orientado con origen en un punto A y extremo en B.

FORMAS DE REPRESENTAR UN VECTOR

CARACTERÍSTICAS DE LOS VECTORES

• El módulo de un vector, es la distancia entre el origen y el extremo.
• La dirección. Es la trayectoria sobre la que se desplaza.
• El sentido lo indica la flecha.

Los vectores opuestos entre sí, tienen la misma dirección pero sentido contrario.

VECTORES EQUIPOLENTES

• Tienen el mismo módulo, dirección y sentido;
• A todos ellos les representa el mismo vector situado en el origen.
• En el espacio hay infinitos vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido:
• Si tenemos dos puntos del plano y los unimos con un segmento, y le asignamos un sentido, tenemos un vector.
• Todos los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, tienen un representante en el origen.
• Si cogemos un vector cualquiera y restamos el extremo al origen, obtenemos el extremo del que tiene el origen en el eje de coordenadas.

A=(x_1,y₁,z₁)        B=(x₂,y₂,z₂)        AB=(x₂-x_1, y₂-y₁,z₂-z₁)

Si se toman por  representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

SUMA DE VECTORES

• Para sumar dos vectores libres  y  se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
• Si se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

PRODUCTO DE VECTORES POR UN NUMERO

El producto de un número k por un vector da como resultado otro vector que tiene:

• La misma dirección que el vector .
• Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
• De sentido contrario del vector si k es negativo.
• De módulo
• 

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Dados dos vectores y dos números a y b, el vector  se dice que es una combinación lineal.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

EJEMPLO

 VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

 Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la matriz formada por ellos tiene el  rango igual al número de vectores.

EJEMPLO

Los vectores: (-1,1,1); (1,-1,1); (2,1,-2)

Son linealmente independientes, porque el rango de la matriz es 3.

EJEMPLO DE VECTORES DE CUATRO COMPONENTES

No son linealmente independientes, porque son 5 vectores y el rango es 4.

Ejemplo:

 BASE CANÓNICA

Es la formada por tres vectores perpendiculares dos a dos y de módulo unidad.

Se expresa por:

UNA DE LAS APLICACIONES MÁS IMPORTANTES DE TODO ESTO, ES APLICARLO A COMPROBAR SI CUATRO PUNTOS O MÁS SON COPLANARIOS.

• CUATRO PUNTOS O MÁS SON COPLANARIOS, SI ESTÁN EN EL MISMO PLANO.
• CUATRO PUNTOS O MÁS SON COPLANARIOS, SI LOS VECTORES FORMADOS CON ELLOS FORMAN UNA MATRIZ DE RANGO 2
• SI LA MATRIZ TIENE RANGO 1 ESTÁN ALINEADOS.

EJEMPLO: A=(2,1,3) B=(1,3,4) C=(0,2,-1) y D=(1,2,a) Calcular a para que sean coplanarios.

1. FORMAMOS 3 VECTORES
2. 
3. PARA QUE EL RANGO SEA 2, EL DETERMINANTE TIENE QUE SER 0.

Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009