Hacemos un recorrido por la historia de las matemáticas en Grecia.
El paso de la edad de bronce a la edad del hierro, en el año 900 a. de C. provoca la caída de las antiguas civilizaciones y da paso a la Griega.
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios.
Realizaron sus cálculos valiéndose de los dedos o con la ayuda de guijarros.
A medida que se fueron complicando los cálculos, los guijarros se dispusieron en columnas, diferenciándose así las unidades pertenecientes a los distintos órdenes.
Con el paso del tiempo, las columnas fueron reemplazadas por hilos o varillas de alambre (fijadas en un bastidor) y los guijarros por cuentas ensartadas en los alambres
De este modo pudo surgir el ábaco.
La tradición atribuye a Pitágoras la introducción del ábaco en Grecia.
Signos utilizados en las matemáticas de Grecia
SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁPICE
La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas:
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa.
La lógica es una teoría de argumentación y dentro de las matemáticas hoy se aplica a las ciencias de la computación que son aquellas que abarcan las bases teóricas de la INFORMÁTICA y la COMPUTACIÓN, así como su aplicación en SISTEMAS COMPUTACIONALES.
Período Helénico
Dura hasta la muerte de Alejandro Magno y Aristóteles. Las matemáticas en Grecia están unidas a la filosofía y se desarrollan en la Escuela Jónica con:
Thales de Mileto.
Escuela Pitagórica.
Los Sofistas o los Eleatas.
THALES DE MILETO
Nació y murió en Mileto. Se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún fragmento suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte.
Se atribuyen a Thales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides.
Semicírculo que ilustra un teorema de Thales.
Todo triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo, tiene el ángulo opuesto de 90 grados.
Un triángulo isósceles tiene todos los ángulos iguales.
La rectas paralelas cortadas por otra tienen ángulos internos iguales.
EL círculo la única figura plana que tiene un nombre par la parte interior y otra para la exterior.
El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Lo ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
Todo diámetro divide al círculo en dos partes iguales.
Toda recta paralela a uno de los dos lados de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales.
El concepto de lugar geométrico.
Estudio de las proporciones.
Mide alturas con ayuda de un bastón y las sombras.
Es capaz de calcular la distancia de los barcos a la costa, por semejanza.
El círculo considerada la figura perfecta, de tal manera que una elipse no se conocía como tal, se consideraba una circunferencia deformada.
Thales era comerciante, así tuvo conocimiento de las culturas egipcia y mesopotámica.
Forma de medir una altura
“El proceso consistía en levantar un bastón en el extremo de la sombra proyectada por la pirámide y habiendo formado – de este modo – dos triángulos con los rayos del sol, mostrase que la pirámide está con el bastón en la misma razón que la sombra de la pirámide está con la sombra del bastón».
En la actualidad es imprescindible el estudio de teorema para:
Aplicaciones al dibujo lineal.
Estudio de la trigonometría.
Geometría plana y del espacio.
Teorema de Thales:
Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos determinados en una secante son proporcionales a los determinados en la otra secante.
Los ángulos internos son iguales.
Escuela Pitagórica
Secta filosófica, científica y religiosa.
“El número es principio de todas las cosas”
Se funda en Crotona (Italia).
Su máximo exponente es Pitágoras de Samos.
Relacionan la música con la matemática.
Matematizan fenómenos naturales.
Fundan las matemáticas como sistema deductivo.
Los pitagóricos hacen de la matemática una ciencia por excelencia y hacen su primera división.
Pitágoras
Vivió unos 50 años después de Thales, fundó la escuela pitagórica dedicada al estudio de la filosofía, la medicina y las matemáticas.
Enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
Dividieron los números naturales en pares e impares (femenino y masculino, respectivamente).
Dividen la Aritmética como ciencia.
Inventan la denominación de números amigos y números perfectos.
Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias aritméticas, geométricas y armónicas
Relacionan la música con la matemática.
Matematizan fenómenos naturales.
Fundan las matemáticas como sistema deductivo.
Los pitagóricos hacen de la matemática una ciencia por excelencia y hacen la primera división.
El volumen de una pirámide.
El área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares que son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado).
La trisección de un ángulo.
La duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado).
Suma de los ángulos de un triángulo 180º.
Conocían las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas, así como las medias aritméticas, geométricas y armónicas.
Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
Incluso su famoso teorema “la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás.
3²+4²=5²
Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números.
Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota.
Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, es decir en relación 1:2 obtenemos una octava.
Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta.
Si es 2:3 tenemos la quinta.
El Quadrivium
Materias de enseñanza propuesta por los pitagóricos, usada hasta mediados de la edad media:
ARITMÉTICA
MÚSICA
ASTRONOMÍA
GEOMETRÍA
A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir la diagonal de un cuadrado, RESULTABA UN NÚMERO CON INFINITAS CIFRAS DECIMALES
Supongamos un cuadrado de lado un metro. La diagonal mide la raíz cuadrada de 2 y el resultado es:
SÍMBOLO DE LA ESCUELA PITAGÓRICA CON LA PROPORCIÓN ÁUREA, OTRO NÚMERO INCONMENSURABLE
Y su resultado no tiene final, tenemos un número irracional que no podían comprender en aquella época y que ya predijo Pitágoras.
Además el hecho de comentar su descubrimiento podía tener malas consecuencias, porque todo lo que no se podía comprender se podía tomar como una herejía y llevar consigo pena de muerte.
Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se denomina número irracional).
Los sofistas
En el siglo V a.C., Parménides fundó una escuela de filosofía en Elea, colonia griega en la península Itálica (Magna Grecia).
Parménides adoptó una actitud opuesta a la de Heráclito en la relación entre estabilidad y cambio y mantuvo que el universo se puede describir como una esfera indivisible e inmutable y que toda referencia o cambio es por sí misma contradictoria.
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, intentó probar la unidad del ser afirmando que la creencia en la realidad de cambio, la diversidad y el movimiento lleva a paradojas lógicas.
Las paradojas de Zenón llegaron a ser enigmas intelectuales que filósofos y lógicos de todas las épocas posteriores han intentado resolver. El interés de los eleáticos por el problema de la consistencia racional propició el desarrollo de la ciencia de la lógica.
Los sofistas aportaron
Suma de puntos.
El tiempo como suma de instantes.
Movimiento como suma de pasajes de un lugar a otro.
Aportó a la matemática recursos de orden lógico, metodológico y hasta técnico.
Su proceso dicotómico se usa como recurso de demostración y el método de reducción al absurdo, es una consecuencia del principio de contradicción eje de sus raciocinios.
Desecha la concepción monádica de los pitagóricos.
LA ACADEMIA
Fue fundada por Platón en el siglo IV a.C.
En la entrada a la Academia se leía: “Nadie que ignore geometría penetre bajo mi techo”
En los diálogos de Platón aparece consideraciones matemáticas.
Platón sintetiza su amor a la matemática con la frase: “Dios geometriza constantemente”
Platón
Filósofo griego, alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles, de familia nobilísima y de la más alta aristocracia.
Durante su juventud luchó como soldado en las guerras del Peloponeso de las cuales Atenas salió derrotada, y el poder y la economía que ostentaba sobre el mundo griego cayó en las manos de Esparta.
Euclides asigna a Platón las siguientes contribuciones:
El método analítico (método de demostración).
Una solución de la ecuación pitagórica.
El problema de la duplicación del cubo (dudosa).
Clasificación de los poliedros (sólidos platónicos).
Fue fundador de la Academia de Atenas, donde estudió Aristóteles. Participó extensivamente en la enseñanza en la Academia y escribió sobre muy diversos temas filosóficos, especialmente los que trataban de la política, ética, metafísica y epistemología.
Las obras más famosas de Platón fueron sus diálogos.
EL LICEO
Aristóteles nació en Estagirael año 384 a. C. Fue instruido por Platón y creó el Liceo. Murió a los 72 años en el año 322 a. C.
No fue matemático profesional, pero dio un empuje importante en el campo de la lógica, que ayudo a fundamentar el sistema de la matemática.
Sus aportes en el campo de la lógica viene influenciado por los pitagóricos, en lo que respecta a la matemática. cómo alumno y discípulo de Platón, desarrolla su pensamiento, pero también lo critíca.
• La discrepancia con su maestro le hace plantear su concepción de la realidad (Physis).
• Heráclito y Parménides hicieron una explicación muy parcial mediante la unidad y la pluralidad.
• De Anaxágoras Aristóteles recogió el noûs ( la Inteligencia).
• De los pitagóricos valora su dedicación por las matemáticas.
• Para Aristóteles, las Ideas son inmanentes a las cosas particulares y concretas, que son las que forman la verdadera realidad
Sus trabajos lógicos se encierran en la gran obra Organon.
Teoría de Proporcionalidad
El método de exhaución (equivalente al cálculo integral).
Categorías.
Hermeneia.
Analíticos Primeros (dos libros).
Analíticos Segundos (dos libros).
Tópicos (ocho libros).
Elencos sofísticos.
Helenístico dura hasta el principio de la era cristiana y tiene su esplendor con Euclides, Arquímedes y Apolonio.
Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música.
Los trece libros que componen sus Elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como:
La geometría de polígonos y del círculo
La teoría de números
La teoría de los inconmensurables,
La geometría del espacio
La teoría elemental de áreas y volúmenes.
Los postulados de Euclides
Por cualquier punto se puede trazar una recta que pasa por otro punto cualquiera.
Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
Con un centro dado y un radio dado se puede trazar un círculo.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado con que están los ángulos menores que dos rectos.
Los dos primeros postulados establecen la existencia de la recta determinada por dos puntos.
El tercer postulado establece la existencia y la unicidad de una circunferencia dado su centro y su radio.
Los primeros cuatro postulados admiten la existencia de rectas y circunferencias.
El quinto postulado fija las condiciones para que dos rectas determinen un punto, cuya unicidad se complementa con una noción común (9).
Nociones comunes
Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sí.
Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los restos son iguales.
Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los resulta dos son iguales.
Si a cosas desiguales se agregan cosas iguales, los resultados son desiguales.
Las cosas dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí.
Las cosas que se pueden superponer una a la otra son iguales entre sí.
El todo es mayor que la parte.
Dos rectas no comprenden un espacio. (esta noción complementa la unicidad del punto).
Se observa que para los griegos la geometría estaba constituida esencialmente por el punto, la recta y la circunferencia.
ESQUEMA DE UN ALGORITMO PARA PROGRAMARLO
Algoritmo de Euclides: algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números MCD (m,n) donde m > n, que se puede resumir como sigue:
Dividir m entre n. Sea r el resto.
Si r = 0, entonces (Máximo común divisor) MCD (m,n) = n.(Fin)
Si r ≠ 0, entonces MCD (m, n) =MCD (n, r ).
Volvemos a dividir n entre r (n, r) como en el paso 1.
Por ejemplo, para calcular el MCD (27,12), tenemos:
27 = 12·2+3
12 = 3·4+0 Como el resto es 0, ya terminamos
Entonces, MCD(27,12) = 3.
En general podemos afirmar que se debe a Euclides el concepto de Algoritmo como procedimiento definido para la solución de un problema, paso a paso, en un número finito de pasos.
El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo llamado Apolonio de Perga.
Decía Leibniz “Quien comprenda a Arquímedes y a Apolonio admirará menos los logros de hombres posteriores.”
Arquímedes
Nació alrededor del año 289 a.C. en Siracusa (la parte sur de Sicilia), hijo del astrónomo y matemático Fidias.
De su padre aprendió cuestiones de ciencia, más adelante trabajando en Alejandría obtiene perfeccionamiento en sus conocimientos en colaboración con otros grandes matemáticos.
Sus inventos gozaban de admiración, por ejemplo aquello que facilitó agua a ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba agua durante las inundaciones.
En la última etapa de su vida participó en al defensa de sus ciudad natal de los invasores romanos, confeccionando máquinas para la defensa e inventando armas.
Durante el ataque y toma de Siracusa en 212 a.C., Arquímedes fue asesinado y su biblioteca e instrumentos saqueados. A raíz de ese hecho se cuenta la historia acerca de su asesinato: “…un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron concentrado e inmutable trazando en la arena complicadas figuras geométricas ‘no toques mis círculos’ exclamo Arquímedes cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes”.
Marcelo, que había encargado explícitamente que no mataran a Arquímedes pues sabía de su fama de gran sabio, encargó que se le hiciera un funeral de honor y esculpió en su lápida un grabado con una imagen de una esfera dentro de un cilindro.
Las obras de Arquímedes fueron escritos fundamentalmente en cartas. Hasta nosotros han llegado diez obras grandes y algunas más pequeñas de carácter matemático. La característica fundamental de sus obras matemáticas son aplicaciones de métodos matemáticos rigurosos en al mecánica y la física.
Un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas.
Llega a conseguir 5 decimales del número π
Las cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola) habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes.
También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua.
Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo.
Numerosos inventos y descubrimientos mecánicos de Arquímedes son ampliamente conocidos como:
El tornillo sin fin.
Los sistemas de palancas.
Bloques y tronillos para el levantamiento y movimiento de grandes pesas.
Su contemporáneo, Apolonio, escribió
Un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres, elipse, hipérbola y parábola.
Calculó sus ejes, diámetro, asíntotas, vértices y polos.
Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII. Desde Apolonio hasta Descartes no hubo ningún avance.
Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio “Escuela de Alejandría”, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla.
Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras.
Hoy tenemos en los libros de bachillerato su fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera en función de los lados.
Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico en los Grados de Matemáticas.
Tras la época de Arquímedes, las matemáticas sufrieron unas transformaciones radicales.
Ptolomeo A éste ilustre filósofo matemático debemos la idea de que el universo se compone por nueve círculos, o mejor dicho, de nueve esferas que se mueven. La esfera exterior es la del cielo que abarca las demás y en la cual están fijas las estrellas. Más abajo giran siete globos arrastrados por un movimiento contrario al del cielo.
En el primero, gira la estrella que los hombres llaman Saturno.
El segundo marcha Júpiter, el astro bienhechor y propicio de los humanos.
Marte, rutilante, que ocupa el tercero
Debajo, situado en la región media, brilla el Sol, jefe, príncipe moderador de los destinos del mundo, cuyo inmenso globo ilumina y llena el espacio con su luz.
Después siguen como dos compañeros, Venus y Mercurio
Finalmente el globo inferior está ocupado por la Luna, que toma su luz del astro del día.
Debajo de este último círculo celeste todo es mortal y corruptible, a excepción de las almas, dadas por la bondad divina a la raza de los hombres. Por encima de la luna todo es eterno. Nuestra Tierra, colocada en el centro del mundo y alejada del cielo por todos lados, permanece inmóvil y todos los cuerpos graves son arrastrados hacia ella por su propio peso.
Ptolomeo fue el primer astrónomo en crear el ALMAGESTO
El cuadrante (cuarta parte de la circunferencia de 360) fue el primer instrumento utilizado por los navegantes que lograba obtener con presión matemática aunque con un ligero error matemático.
Los navegantes se han valido siempre de la posición de las estrellas para obtener su posición en cualquier punto de la tierra
En desacuerdo con esta posición los navegantes empleaban una serie de formulas matemáticas que les permitía calcular los ángulos de latitud y longitud, por ejemplo al tomar como referencia la estrella polar (en la regiones septentrionales o del norte)
MATEMÁTICAS CON MUCHO TRUCO 